On a
r ^ sin(a-(-A) sina cos A -(- cosasin A
lang(a-i- ) = cos(a -h b) cos a cos A —sina sin A
Divisons les deux termes du second membre par le produit cos a cos A, il viendra
tang (a-H A) =
sina cos A cosa cos A
cos a sin A cosa cos A
sin a sin A cosa cos A
Remplaçons
sin a cosa
par tanga
sin A ’ cos A
jiar tang A, et simplifions.
Nous trouverons
lang (a -+- A) =
tang a -t- tang A I — tanga tang A
yiugonométrie.
Si l’on change dans celle formule b en — b, il vient (9)
, tanga + lang (— b) tanga — tang6
tong(a-f>)= — . x-bv
I ' I — tanga lang ( — b) . i 4- tanga lang o
Si l’on suppose que a soit égal à 45“, on aura lang a = i, cl, par suite,
I — lang A
lang (45“ — b) = ■
I 4- lang b Mnltiplication et division des arcs.
23. Nom nom proposons d’abord, connaissant les rapports trigonométriques d’un arc, de déterminer les rapports trigonomélriques de ses multiples.
Prenons les formules cos (a 4- b), sin (a 4- b), lang [a 4- b], et supposons que b devienne égal à a. Nous aurons
cos aa = cos’a — sin’a, sin ia = 1 sin a cos a.
2 tanga
lang 3 a = •
I — lang’ a
Prenons les mêmes formules et supposons que b devienne égal à aa. Nous trouverons, en remplaçant cosaa, sinaa, lang 2a, par les valeurs précédentes, et en effectuant les calculs,
cos3a = cos’a — Ssin’acosa, sin 3a = 3 sin a cos* a — sin’ a.
3 tanga — tangi'a
tang3a= -5^-
I — 3 lang’ a
En faisant usage de la relation i = cos’a 4- sin’ a, on peut exprimer cos 3a en fonction de cosa, sin 3 a en fonction de sin a. On a alors
cos 3a = 4 cos’a — 3 cosa, sin 3a = 3 sin a — 4 sin’a.
En continuant, on arriverait facilement aux rapports Irigonomélriques. des arcs 4«> 5a, etc. Nous donnerons plus loin [Complément d’j^lgèbre) les valeurs générales de sin ma, de cos ma et de lang ma.
24. La question inverse de la précédente est celle-ci : Connaissant les rapports trigonométriques d’un an:, déterminer les rapports trigonométriques d'un sous-multiple de cet arc.
‘ I” Étant donné cosa, cherchons sin -a et eus -a.
3a6 THIG0KOMÉTR1E.
La relation cos aa = cos’ a — sin’«, appliquée aux arcs a
et -a, donne
cosfl = cos’ - a — sin’ - a.
On a d'ailleurs
I = cos’ - « + sin’ - a.
Par addition, il vient
+ cos <i = a cos’ a
et, par soustraction.
• — cos« = a sin’ a
On en déduit
cos
COSrt
sin
— cos «
On trouve pour cos - « et sin ^ a deux valeurs égales et de
signes contraires. En effet, supposons que dans le cercle de rayon i, coso soit numériquement représenté par l’abscisse OP. Par le point P, menons à l’axe O7 la parallèle MM' {fig. 14 ).
Tous les arcs terminés en M et en M' répondront à la valeur de cosa. Pour avoir toutes les valeurs
possibles de sin - n et de cos - a, a a
Fiç i4-
il faut donc prendre la moitié de tous ces arcs ; ce qui revient à prendre seulement les moitiés des arcs AM et AM', considérés successivement comme positifs et comme négatifs. On obtient d’abord l’arc positif AN; puis on remarque que l’arc positif AM' étant égal à la circonférence entière moins un arc égal à AM, sa moitié sera égale à une demi-circonférence moins un arc égal à AN : on obtient ainsi un second arc positif AN,, NN, étant parallèle à l’axe Oj:. De même, la considération de l’arc négatif AM' conduit un arc négatif AN', et celle de l’arc négatif AM conduit à un second arc négatif AN',, N' N", étant aussi parallèle à l’axe Ox. Ainsi, les moitiés des arcs terminés en M et en M' ont leurs extrémités aux sommets du
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TniGUMOMÉTHIE.
rcciangle NN,N',N'; el, par suite, il existe pour sin - a deux
valeurs égales et de signes contraires représentées numériquement par les ordonnées N/> et N'//; il existe de même pour
eos ^ fl deux valeurs égales et de signes contraires représentées numériquement par les abscisses 0/>, Op'.
Si l’on augmentait les arcs AM et AM' d’un nombre quelconque de circonférences, il faudrait augmenter leurs moitiés du même nombre de demi-circonférences. On passerait alors d’un sommet du rectangle NN,N', N' à ce même sommet ou au sommet diamétralement opposé, c’est-à-dire qu’on retrouverait
toujours les mêmes valeurs pour sin ^ a et cos ^ a.
2“ Étant donné sin a, cherchons sin - a et cos - a.
■ La relation sin 2a = 2 sin a cosa, appliquée aux arcs a et
- a, donne
sm fl = 2 sin - fl cos - a.
On a d’ailleurs
I = cos’ - fl -4- sin’ - a.
Par addition, il vient
