I -f- sm fl = I cos - fl -t- sm - fl
et, par soustraction, '
I — ^in a = I cos -a — sin - a \ 2 2
On a donc
cos - fl -H sm - fl = ± V I -I- sina ,
cos - fl — sin - fl = ± J I — sin fl, 22’
d’où
cos - fl = ± - ( 1/ 1 -t- sina dt 1 — sin a) , sin - a = ± I -I- sin fl ^ i — sin«).
Dans ces formules, les signes supérieurs ou inférieurs doi-
Digili7^y by VjOOglc
TnICO^OMÉTIllE.
vent se correspondre; seulemeni, le signe extérieur aux parenthèses est indépendant du signe qu’elles renferment.
On trouve quatre valeurs, deux à deux égales et de signes
contraires, pour chacun des rapports cos ^ a et sin^a; de plus, les valeurs de sin ^ a sont les mêmes que celles de
cos ^ a. Pour prouver qu’il en doit bien être ainsi, nous nous
servirons du même procédé que dans le cas précédent, mais en l’employant sous forme algébrique. Nous avons vu (7) que tous les arcs ayant sin a pour sinus étaient renfermés dans les deux formules
2njr-(-a, (an-t-ijn — a.
Pour avoir toutes les valeurs possibles de sin ^ a et de cos ^ a,
il faut prendre la moitié de tous ces arcs. On doit alors déterminer les sinus et les cosinus des arcs renfermés dans les deux formules
«ffH — fl, nir-| fl.
Une valeur paire 2k donnée à n conduit aux seules valeurs
sin - a et sin a)=cos-a
ou
COS - a et cos a 1 = sin - a.
En effet, oti peut augmenter ou diminuer un arc d’un nombre entier quelconque de circonférences nhn, sans faire varier la valeur du sinus ou du cosinus de cet arc.
De même, une valeur impaire 2fr -t- i donnée à n conduit aiix seules valeurs
TRIGONOMÉTlllE.
.iiy
3“ Étant donnée tang«, vltervhons laiig - a.
La relation lang 2fl = 2 tanga ^ appliquée aux arcs a et
I — taiig'rt
- a, donne a
2 tang - a
tanga = ;
I — tang’ - a
d’où l’équation du second degré
tanga . tang’ ^ a 2 tang ^ — tanga = o.
Les deux racines de cette équation ont pour produit — 1 élém., 189), quelle que soit la valeur de tang a. Cherchons ces racines sans résoudre l’équation.
Donner tanga, c’est donner (9) tous les arcs compris dans la forfnule
nit + a.
Pour avoir toutes les valeurs possibles de tang ^ a, il faut déterminer les tangentes des moitiés de tous ces arcs, qui sont renfermées à leur tour dans la formule
ir 1 ,
Si l’on donne à n la valeur paire 2k, on obtient tang ^ /fir -t- ^ a j = tang ^ a ,
quel que soit k ; puisque la tangente d’un arc ne varie pas lorsque cet arc varie d’un nombre exact de demi-circonférences.
Si l’on attribue à n la valeur impaire 2k + i, on obtient, quel que soit k (11),
tang 4- ^ -t- ^ a^ = Ung ^ a) = - col 1 a.
Les deux racines demandées sont donc
tang - « et — rot
dont le produit est bien égal k — 1 .
26. a représente, dans tout ce qui précède, le plus petit des arcs qui correspondent à la valeur attribuée au rapport trigonométriquc considéré.
TRIGOHOMÉTSrE.
Il esl utile de remarquer que lorsque^ au lieu de donner seulement cos a, sin a ou tang a, on donne l'arc a lui-mème, le
signe de cos - a, sin - « ou tang - a, ne présente plus aucune
ambiguïté.
Soit, par exemple, a = 5o”. ^ a étant inférieur à 45°, son
sinus et son cosinus seront positifs; mais son cosinus l'emportera sur son sinus. Si l'on connaît sin5o°, on devra donc prendre
sin 25“ = -H ^ ( \/ I -H sin 5o“ — ^ i — sin 5o”) ,
cos 25“ = -t- - ( ^ I -f- sin 5o“ ■+■ ^ i — sin 5o“).
Pour la trisection de l'arc, on suivrait une marche analogue à celle que nous venons d'indiquer (voir Noie II).
Formules rendues calculables par logarithmes.
26. Cherchons à rendre calculable par logarithmes la somme ou la différence de deux rapports trigonométriques.
Des formules
sin (a -f- 6) = sina cosb-h cosasin b, sin (fl — 6 ) = sin a cos b — cos a sin b, cos (fl 4- — cosfl cos b — sin fl sin b,
cos (fl — b) = cosacosb + sinasin6.
on déduit, par addition et soustraction,
sin {a + b) ->r sin (« — b] = asina cosfc . sin (a 4- &) — sin (a — b) = 2 cosa sinb, cos (fl 4- b) 4- cos (fl — b) = 2 cos fl cos A, cos (a — b) — cos (fl -H ft) = usina sin6 .
Posons
a ->r b ■= P , a — b=zq,
c'est-à-dire
n = -{p + g) et b = -{p — q);
il viendra
sin /I 4- sin g = 2 sin - (p 4- g ) cos - {/> — g ) •
sin P — sing = 2 cos- (p 4- g) sin -(p~q).
rosp 4- cosg = 2 cos^{p 4- g) cos ^ (/> — g) , rosg — vosp = 2 sin ^ ip + q] sin ^ (p — g).
TIUGOaOMéTRlE.
On U d’ailleurs
sin^±:cos9 = sin/> ±sin ^ j*
On peul donc écrire
sin cosç = a sin cos
sin P — cos q=zi cos sin
En divisant entre^Ues les formules qui expriment la somme ou la différence ae deux sinus ou de deux cosinus, on obtient les égalités suivantes, qu’il importe de se rappeler ;
sin /> -h sin g ’ + V) cos ^ (y, - lang +
sin P — sin O i i i ’
2cos-(y» -t-^)sin -(p — 7) tang-(p — v)
• oîr. - 1 2 sin - (p -f- a) cos-(p — q)
smp-f-sma a i,
— -c = - = iang-(p -(-a)»
cosp-t-cosg I, . ^ ‘ ^
“Cos-(p + ?)cos-(p— g)
2 sin - (p H- a) cos- (p — a) smp -t- sin g a ' a ^ '
= cot -Vp — q)t
cosg — cosp . I , . . I ,
asm-(p + g)sin -(p— g)
a cos-(p + g)sin -(p — g) smp — sin g a^ a'^ ,
= tang— (p — g)»
cosp-(-cosg I, , I , Ojvr 'n
a cos-(p + g) cos-(p — g)
a cos- (p -t- g) sin -(p — g) smp — sin g a a ^ i.
— î ■= cot -(p 4- g)»
cosg — cusp .1, , . I / , a
2sin-(p + g)sin-fp-g)
. 2 cos- (p 4- g) cos- (p — g J
cosp -+- cosg a''^ '' a ^
cosg — cosp ~ ! i~ ~ T ’
a sin -(p -4- g) sin -(p — g)
= cot^(p 4-g)cot^(p — g).
Oii a enllii
tanga ih tangf» =
siiia , sin<* sin a cos/>±cosa sin 6
rosa cos A
cosa cosft
c’esl-à-«Hre
iniGONOMÉTRlE
langa±lang/> =
sin (a ± b) cos a cos b
27. Proposons-nous mainlenanl de rendre calculable par logarithmes une expression de la forme x = adzb. On suppose que a et 6 sont des nombres positifs dont on connaît seulement les logarithmes; on suppose de plus «><» dans le cas de x — a — b.
On peut écrire
x=a{^.±iy
Si l’on considère le signe -1- , on posera
- = tang>.
d'où
log tang <p = ^ { log /> — log fl ) .
Il viendra alors
x = a(i -l-ung’T) = rtüéc> = -^-
Si l’on considère le signe — , on posera
• - = sin’f,
d’où
log sin ? = ^ ( log & — log a).
Il viendra alors
x = a{i — sin’(f) = acos’f.
28. Comme application, cherchons l’expression Irigonomé- Irique des racines de l’égualion générale du second degré
ax^ bx + c = O.
Les coefficients a, b, c, sont supposés des expressions monômes.
La formule de résolution est
— 6± ^6’ — ^ac
aa
I» Si l’on a ft» — 4ac>o, les racines sont réelles et inégales. On peut toujours regarder a comme positif. Considérons d’abc>rd le cas où c est ]> o.
TMGONOMÉTRIE.
En mellatn — h en facienr coniinun, on penl écrire
quaniile positive et plus pente que i, puisque Ion
a 6’ — ^ac~^o, peut être égalée à sin’<p. Il vient
On a (24)
eosij)
I — cosif = 2sin’-Ÿ, I -t- cos(j> = 2 ros’ - i)».
Par conséquent
X = sin’ - ® , .r = cos’ - o.
