CONSTRUCTION F.T USAGE DES TABLES TRIGONOMÉTRIQUES
Notions .préliminaires.
30. Pour que tes rapports Irigonomélriques puissent être utiles, il faut nécessairement avoir à sa disposition une table dans laquelle on trouve, en face du nombre de degrés d’un arc, les valeurs de ses rapports trigonométriques ou, mieux, les valeurs des logarithmes de ces mêmes rapports.
Les arcs considérés peuvent atteindre un nombre quelconque de degrés (2); mais il suffît que la table aille depuis o® jusqu’à 90®.
En effet, on peut toujours trouver un arc plus petit que 90" étayant, sauf les signes, les mêmes rapports trigonométriques que l’arc proposé. C’est ce qu’on appelle réduire un arc au premier quadrant.
Soit, par exemple, l’arc de iSS^”. Cet arc représente quatre circonférences ou i44o°, plus 97° : il a donc les mêmes rapports trigonométriques que l’arc de 97®. Cet arc a pour supplément l’arc de 83®. On aura donc, en se reportant aux développements précédents :
sin 1537° = sin97" = sin83®, cos 1537®= cüS97®= — cos 83®, tang 1537" = tang97® = — lang83".
La table doit aller jusqu’à 90"; mais elle n’a besoin d’être calculée que jusqu’à 45". En effet, l’on a (à)
sin(45®-t-a) = cos(45® — cr), cos (45® -)-«) = sin (45® — «), tang (45® -t- o) = cot (45° — fl).
Une fois les logarithmes des sinus et des cosinus des arcs compris dans la table, calculés directement, on aura immédiatement
sin fl , , . ,
tangfl = ^^^ ou logtangfl = logsinfl — logcoso;
de même,
. fOSfl ,
colfl = -: — ou log col fl = — log tangfl. sin fl ^ 00
On n’iiiscril pas en général dans la table les logarithmes des
Di ■ i bv- GougU
TRIGONOMÈTIUE.
sécantes cl des cosécanles. Un a d’ailleurs
séfc a =
cos a
et
coseca =
sin a
ou k)gséca = — logcosa,
ou log coséc a = — log sin a.
31. Nousallons montrer, non pascomment on calcule en réalité les logarithmes des rapports irigonométriques, mais comment on pourrait les calculer à l’aide d’une méthode élémentaire.
Pour exposer cette méthode, nous avons besoin de nous appuyer sur quelques propositions préliminaires, d’ailleurs indispensables à connaître.
'Daps tout ce qui va suivre, nous supposerons expressément que les arcs considérés font partie de la circonférence de rayon i.
I® Tout arc plus petit que 90® est compris enlre’sdn sinus et sa tangente.
L’arc AM=a [Jig. i5) est plus grand que sa corde, à plus
Fig. i5.
forte raison plus grand que MP. On a donc
. a>sina. ‘
D’autre part, le secteur AOM est moindre que le triangle AOT. On a donc
arcAM. — <AT'— ,
c’est-à-dire
a < tanga.
* 2” A mêsure que l’arc a tend vers zéro, le rapport tend
vers une limite égale à l'unité.
On a en effet
sina<^a<|langa ou
sina cos a
Divisant tout par sina, il vient
sina cos a
A mesure que l’.prc a diminue, cos a converge vers l’unité, tout^en restant plus petit que l’unité. Pour a=o,' on a • , a
cosa = i. Par conséquent ^7^ tombant entl-e i et une quantité plus grande que 1, qui a l’unité pour* limite, nn peut écrire
lim — = I, sin a
re qui donne
TKICONOMF.TIUK.
sin«
lini = I .
Il résulle de ce qui précède que, dans le même ras, .on a aussi
• lan;,'fl
lim — = I ;
car
tanga sin a i
a a eus a
3® La différence entre un arc et son sinus est plus petite que le quart du cube de l’arc.
Il est bien entendu qu’il s’agit toujours d'un arc a inférieur
à QO®.
On a
^fl<ungi«.-
Multiplions les deux membres de celle inégalilc par 2 cos’
Il viendra, après réduction ei en se i-nppelanl la formule
sin rt = 2 sin - rt cos - a,
a cos’ - rt <. sm a,
ou ^ *
rt ( I — sin’ - rt
Celle inégalité revient à '
rt — sinrt ^ a sin’ - fl.
Elle subsistera à fortiori si l’on augmente le second membre en remplaçant sin^a par une quantité plus grande ^ a. Qji aura alors
^ rt’
rt — sinrt<[-7-'
On a donc pour limite supérieure de sin a l’arc a lui-même, et
pour limite inférieure la alifférence a~-^- ^ ‘
On pourrait obtenir, s’il était nécessaire, deux limites analogues pour cosrt'. On a (24)
cosfl = cos’- rt — sin’ - « = i — 2 sin’ - a.
Di,
TKIGONtntKTfUE.
Si roii rnnpiilf'f tl;iiis ceUc forimil.» sin - a par sa limite siipé-
rieurc - «, il vient
cos a > I ;
si l’on y remplace sin-rt par sa limite inferieure - a il vient
(a rt’ \ > cos«<.-2(^--5-j,
ou
. rt’ rt' a'
fOSrt < I H- -TT ~ c —
2 lO 5|2
Cette dernière incftalité sera à plus forte raison vérifiée, si l’on néf^lige le dernier terme du second membre, cosn aura donc
