La denti-circonférence jr renferme “tira
donc
arc io' = jtt? — = O ,ooool 8ii8i 368i lo. . . .
Celte valeur représente une limite supérieure de sin lo". On a
arc 10" <C o,oooo5, »
et par suite ,
(arc 10*]* ,
i J — A- 0 , 00000 00000 ooo3 1 . . . . il
On aura donc
arc 10 —
arc 10'
c’est-à-dire
— O , ooooo 00000 ooo3 1 ,
arc 10" ^^^^-^-^—^>0,000048481368079. . . .
Mais le premier membre de cette dernière inégalité représente une limite inférieure de sin 10". sin 10" tombe donc
34© TWIGONOMÉTIIIE.
entre deux expressions qui ne diffèrent qu’à partir de la treizième décimale. On peut donc écrire, à moins d’une demiunité du treizième ordre décimal,
sin io" = o, 00004 848i368i.
Nous venons de trouver
’ > rt’ n'
cos«> I et cosa<Li 1 —
Si a désigne l’arc de 10", c’est-à-dire si l’on suppose a inférieur à o,oooo5, on aura
ou
16 ib*. 10"
inégalité qu’on peut encore écrire à fortiori
Par conséquent, les deux limites de cos a diffèrent de moins d’une demi-unité du dix-huitième ordre décimal : il suffit donc de calculer la première de ces deux limites. Si l’on s’arrête à la treizième décimale, on trouve
■ cos 10" = 0 ,99999 99988 248.
33. 11 est facile maintenant de calculer, de dix secondes en dix secondes, les sinus et les cosinus de tous les arcs compris entre 0“ et 45“. Prenons les formules
* sin (rt -f- 6)-t- sin (rt — t) = 2 sinn cosé, cos (a + b) + cos [a — b) = 2cos« cos6.
posons
• n=mb.
Il viendra, en isolant sin [m -f- i)ft et cos (m + i)b,
sin (m -h i)A = 2Sinm6.cos6 — sin(m — t)b, cos(m + i)b =2Cosmb.cosb — cos(m — i)Â,
On fera dans ces formules b = 10", et l’on donnera successivement à m toutes les valeurs entières depuis i jusqu’à 16200, nombre de fois que l’arc de 45“ contient l’arc de 10". Si l’on fait'/n = 1 , 2,3, . . . , il vient
sin 20" = 2 sin 10" cos 10", cos 20" = 2 cos’ 10"’ — I,
> sin 3o" = 2 sin 20" cos 10" — sin 10",
cos3o" = 2C0S 20" cos lo" — cos 10", • . ,
Nous ne nous arrêterons pas aux abréviations dont on peut faire usage dans ces calculs. C’est ainsi qu’on a d’abord con-
Di ■■
TRIGONUMÉTniE.
siruil des labiés de log sinus el de log cosinus; mais on peut
disposer aujourd’hui"de mélhodes beaucoup plus rapides.
Disposition et usage des tables trigonométriques.
34. Nous considérerons, comme nous l’avons fait pour les logarithmes des nombres, les Tables de Collet à sept décimales, et celles de De Lalande à cinq décimales.
Dans l’ouvrage de Callet, on trouve d’abord une table contenant les logarithmes des sinus cl des tangentes des arcs compris entre o^elS”, ces arcs croissant successivement d’une seconde. La page de gauche correspond aux sinus, la page de droite aux tangentes. Le nombre de degrés de l’arc est en haut de la page, à gauche el en dehors du cadre." Les secondes sont comptées, pour chaque page, dans la première colonne à gauche; les minutes sont indiquées en haut des autres colonnes. Par suite des propriétés des arcs complémentaires, on a en même temps les logarithmes des cosinus et des cotangentes des arcs compris entre 9®“ cl 85°, ces arcs décroissant successivement d’une seconde. Le titre sinus étant en haut de la page, le titre cosinus esX en bas; il en est de même pour la tangente et la colangenie. Lorsqu’on cherche un cosinus ou une cotangente, le nombre de degrés de l’arc est en bas de la page, à droite et en dehors du cadre ; les secondes sont alors.,complées pour chaque page dans la dernière colonne à droite; Tes minutes sont indiquées au bas des autres colonnes. Dans la première colonne à gauche, les secondes sont comptées en descendant de O jusqu’à 60; dans la dernière colonne à droite, elles sont comptées en montant de o jusqu’à Go. Ainsi, le logarithme du sinus de o°47'24" est indiqué dans la table comme égal à 8,1394907; el -ce logarithme est en môme temps celui de cos 89“ 1 2' 36". ^ ‘‘**J^^*i **,
Nous devons itbmédiatement faire une remarque importante. Les sinus cl les cosinus des arcs compris entre o® et 90® sont plus petits que 1; il en est de même des tangentes des arcs compris entre o® el 45“ el des cotangenles des arcs compris entre 45" et <)o" : les logarithmes de ces différents rapports auront dès lors des caractéristiques négatives (.voir VAlg. élém., 256). En se plaçant au point de vue typographique, on a voulu éviter dans les tables ces caractéristiques négatives; el, pour y arriver, on a augmenté de lo les logarithmes correspondants. 11 faut donc, si l’on veut se conformer au mode de. calcul recommandé précédemment, retrancher 10 aux caractéristiques de ces mêmes logarithmes. On aura ainsi ■>
.• log sin o®47' 24" = log cos 89" 12' 36" = 2, 1394907.
Les tables qui viennent après celles dont nous venons d’in-
TRIGONOMETRIE.
diqiier la disposition donnent, de dix secondes en dix secondes, les logarithmes des sinus, des cosinus, des tangentes et des cotangentes, des arcs compris entre 0“' et ^o”. D’après les propriétés des arcs complémentaires, les logarithmes des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes des arcs de o" à 45", correspondent aux logarithmes des cosinus, sinus, cotan-' genles et tangentes des arcs de 90® à 45". Aux titres sinus, cosinus, tangentes et cotangentes, placés en haut des pages, correspondront donc les titres cosinus, sinus, cotangentes et tangentes, placés en bas. Si le titre général o” est placé en* haut d’une page et hors du cadre, le titre général 89“ sera placé hors du cadre, en bas de la môme page. Sii’on part de o”, les minutes sont comptées dans la première colonne à gauche et, d’utte minute à l’autre, dans une colonne contiguë, sont comptées les dizaines de secondes. On opère alors en descendant. Si l’on part de 8g®, les minutes sont comptées dans la dernière colonne à droite et, d’une minute à l’autre, dans une colonne contiguë, sont comptées les dizaines de secondes. On opère alors en montant. C’esl ainsi qu’on trouvera -
log sin o®ig' So" = logcos89®4o'3o" = 3,7537584.
Après la colonne marquée sinus, vient une colonne marquée différences ; de même, après la colonne marquée cosinus. Ces différences sont celles qui existent entre deux logarithmes consécutifs de la table; elles sont exprimées en unités du septième ordre décimal et écrites entre les logarithmes qu’il faut retrancher l’un de l’autre pour les obtenir. Entre la colonne des tangentes et celle des cotangentes, est une colonne intitulée différences coniinunes : ces différences sont celles qui existent entre deux logarithmes consécutifs de la table, tangentes ou cotangeutes. Et elles sont communes aux logarithmes de ces rapports, parce que le produit de la tangente d’un arc par sa cotangente est égal à i. Il en résulte qu’on a pour deux arcs quelconques a el b
d’oii ■
tangneotu = tangft cot h.
et
» ■ tango cotf»
tang^ coirt
log tango — log langfc = log cot b — log coto.
Dans les Tables de De Lalande, la disposition adoptée est analogue à celle que nous venons de décrire; seulement, deux arcs consécutifs de la table diffèrent d’une minute, de sorte que les colonnes de secondes sont supprimées. De plus, les '■olonnos sinus et cosinus, au lieu d'être \ (usines rune de
TRir.OAOMÉTlUE. 343
l’aulrc, sonl séparées par les colonnes tangentes cl eotungenlfss.
35. La première question à résoudre à l’aide des tables irigonoinélriques est celle-ci : Étant donné un arc, trouver les logarithmes de ses rapports trigonométriques.
Soit demandé logsin 3y°27'43".
Les Tables de Gallet donnent immédiatement
logsin 39“27'4o" = i,8o3i5a7.
Admettons que, pour de petits accroissements des arcs, il y ait proportionnalité entre ces accroissements et ceux des logarithmes des rapports trigonométriques correspondants. L’examen de la table prouve qu’il en est ainsi, du moins juSqu’à l’ordre décimal considéré, q,uand les arcs donnés dépassent 5". La différence entre les logsin de deux arcs consécutifs de la Jlable, c’est-à-dire de deux arcs différents de lo", est en cet endroit égale à a56 unités du septième ordre décimal. En' désignant par S l’accroissement à faire subir au log sin pour un accroissement de l’arc égal à 3", on devra donc poser
d’où
On écrira par suite
logsin39°27'4o"= i,8o3i527 pour —3" (en plus) 77 (en plus)
logsin 39“ 27' 43" = 1 ,8o3 1604 Si l’on opère avec les Tables de De Lalande, on pura log sin 39” 27' = 1 ,8o3o5.
En appliquant la même proportion et en remarquant que les arcs consécutifs de la table diffèrent d’une minute ou de 6o secondes, on aura pour l’accroissement 3
d'où
• Par suite, un écrira
log sin 39*>27' = i ,8o3o5
' pour43" (en’plus) 11 (en plus)
log sin 39“ 27' 43" 1 ,8o3i6.
S'il s’agit du logarithme d’une tangente, on opérera d’une
344 TIUGOSOMÉTRIE.
manière identique. Mais Ja recherche du logarithme d’un cosinus ou d’une cotangente exige la modification suivante.
Au lieu de considérer l’arc de la table qui approche le plus de ^ l’arc proposé partléfaul, on prend celui qui en approche le plus par excès.
Soit demandé
log cot72” 25'i9".
Les Tables de Gallet donnent immédiatement
log cot 7 2*25' ao" = 1 ,500774®-
Si l’are diminue de 10", la table montre que le logarithme de sa cotangente auf'mente en cet endroit de 731 unités du septième ordre décimal. Si l’arc diminue seulement de 3", le logarithme de sa cotangente augmentera d’une quantité $ donnée par la proportion
-T- = — > d ou J=73iX — = 210,3.
• 731 10 ' lO ^ •
On aura, par conséquent,
log cot 72®25'2o" = 1,5007740 ,
^ pour 3" (en moins) 219 (en plus) ‘ -
log cot 72" 25' 17" = 1 ,5oo7g5y.
Si l’on emploie les Tables de De Lalande, on a
• log cot 72“ 26' = 1 ,5oo48.
En appliquant la proportion précédente et en remarquant que la différence tabulaire 44 correspond à une différence de 60", on aura . ■■
43 représente le nombre de secondes qu’il faut retrancher de l'arc 72*26' pour obtenir l’arc donné 72*25' 17". Il viendra
. log cot 72*26' = 1 ,5oo48
pour 43" (en moins) 32 (en plus)
log cot 72* 25' 1 7" = 1 ,5oo8o. •
On opérera absolument de la même manière, si l’on cherche un logarithme cosinus.
En résumé, s’il s’agit d’un sinus ou d’une tangente, on prend le logarithme sinus ou le logarithme tatigcnte de l’arc de * la table qui approche le plus de l’arc proposé par défaut. S’il
THIGONOMÉTRIE. 34^
s’agit d’un cosinus ou d’une cotangente, on prend le logarithme cosinus ou le logarithme colangente de l’arc de la table qui approche le plus de l’arc proposé par excès. Dans les deux CAS, on augmente le logarithme de la table de la quantité
^ = A • ~ A est la différence tabulaire qui correspond aux deux
logarithmes comprenant le logarithme cherché; d est la différence entre l’arc donné et celui de la table; D est la différence constante entre deux arcs consécutifs de la table. On voit que l’approximation de ^ est de même ordre au moins que celle de A.
3G. La seconde question à résoudre est celle-ci : Étant • donné le logarithme d’un rapport trigonotnétrique, trouver Lare plus petit que 90" auquel il appartient.
Soit demandé l’arc x, sachant qu’on a
log tang X = 1 ,8750612,
Il faut par la pensée augmenter la caractéristique i de 10 unités et chercher dans la table de Gallet le logarithme tangente qüi approche le plus par ‘défaut du logarithme proposé.
Off trouve ,
log tang 36"52' 10" = 1 ,8750541.
La différence entre les deux logarithmes est 71 unités du septième ordre décimal; en cet endroit, la différence tabulaire est égale à 43g unités du même ordre. Si l’on désigne par d le nombre de secondes à ajouter à l’arc de la table pour avoir l’arc cherché, on aura d’après ce qui précède (35)
Tô“ 439’
d’où
On pourra donc écrire , .
log tang 36®52' 10" = i ,8750541
pour 1", 62 (en plus) 71 (en plus)
log tang X = 1,8750612
Si l’on se sert des Tables de De Lalande, on prendra
On aura alors.
log tang X = 1 ,87506.
log tang36“52' = i ,87501.
La différence entre les deux logarithmes étant 5 et la diffé-
Tnif.OKOMKTniE.
reiicc tabulaire éuiiil ati, on aura
Par suite
d'où
x = 3Go5Vit",54.
Nous verrons dans un instant d’où provient la différence entre les valeurs trouvées à l’aide des Tables de Gallet ou des Tables de De Lalande.
S’il s’agit de trouver l’arc x, connaissant logsinx, on opérera d’une manière identique. Mais si l’on donne log cos x ou log cot X, il faudra apporter au calcul la modilicalion suivante. »
Soit donné
logcosx = 1 ,7280956.
On cherchera dans la table le logarithme cosinus qui approche le plus par excès du logarithme tlonné. On trouve ainsi, avec les Tables de Gallet,
log cos 57“ 4o' 3b" = 1,7281273.
Ge logarithme surpasse le logarithme proposé de 317 unités (lu septième ordre décimal; d’après la table et, en cet endroit, l’arc auf^mentant de 10",’ le logaritRme cosinus diminue de 332 unités du même ordre. En désignant par d le nombre de secondes à ajouter à l’arc 57“4o'3o" pour que le logarithme cosinus de l’arc obtenu devienne égal au logarithme donné, on aura
If» 332 ’
d’où
Par suite, on écrira
log cos 57“4o'3o" = 1 ,7281 273
pour 9", 55 (en plus) 317 (en moins) log cos .X = 1 ,7280956
8i l’on emploie les Tables de De Lalande, on prendra
' log cosx = 1 ,72810.
On aura alors
log cos57‘’4o' = 1 ,72823.
La différence enirc les deux logarithmes étant i3, et la dif-
TlUCOJiOMÉTmE.
férciice labulaiie élaiu so, on pourra poser
— » d’où f/ = Go-— = 3t).
l’ar suite
On opérera absolument de la même manièi^e si l’on donne un logarithme cotangente. i
En résumé, si l’on donne log sin x o\i logtangx, on prend le logarithme de la table qui approche le plus du logarithme proposé par défaut. Si l’on donne log cas x ou log cot x, on prend le logarithme de la table qui approche le plus du logarithme proposé par excès. Dans les deux ca’s, on augmente l’arc
de la table de la quantité </ = D ■ ~ A est toujours la différence
tabulaire qui correspond aux deux arcs de la table comprenant l’arc cherché; J est la différence qui existe entre le logarithme donné et celui qu’on considère dans la table; l) est la différence constante entre deux arcs consécutifs de la table.
.*17. Il est iTnporlanl de remarquer que, puisqu’on a (35)
l’approximation de S par rapport à a dépend du quotient ~
Ee quotient étant nécessairement inférieur à l’unité et la différence tabulaire A étant exacte à moins d’une unité, on voit qu’on pourra compter sur le chiffre des unités de 5 (J étant exprimé en cent-millicmes ou en dix-millionièmes commet), ..qu’on se serve des Tables do De Lalande ou de celles de Gallet. C’est pourquoi les résultats fournis par les (Jeux tables doivent être identiques jusqu’aux cent-millièmes.
Dans le problème inverse (30), on a
ei l’approximation de d déjjend du quotient Supposons,
pour simplilier, que l’erreur sur S, différence des deux logarithmes comparés, atteigne une unité, et reprenons les exemples précédents en n(*gligeant rerreur que peut présenter a. Dans le premier exemple, en se servant des Tables de (^llet.
TRIGOHOMÉTIUE.
par suite, l’arc x sera déterminé à moins de — de seconde.
lO .
En se servant des Tables de De Lalande, on aura
c’est-à-dire que l’arc x pourra n’êtrc pas exact h i" près.
Dans le second exemple, en se servant des 'fables de Gallet, on a
l’arc X sera donc erfcorc déterminé à moins de-^de seconde.
lO
En se servant des Tables de De Lalande, on aura D 6o
c’est-à-dire que l’arc x pourra n’être pas exact à i" près.
On voit pourquoi les résultats donnés par les deux tables ne concordent plus quand il s’agit de résoudre la Seconde question (3G).
On voit aussi que Y approximation, sur laquelle on peut compter est d'autant plus grande, que la différence tabulaire A est elle-même plus considérable. La table montre que les différences tabulaires relatives aux tangentes sont les plus grandes. Et, en effet, puisqu’on a
sm a
tanga = el
cos a
tang(a -h h)
sin ( a -h h] cos ( a -t- /« ) ’
on a aussi
log Ung (a -h A ) — * log lang a = [log sin ( a -t- // ) — l,og sin a]
. . -f-[lbgcosa — logcos(a -I- /i)];
c’est-à-dire que Tes différences tabulaires des tangentes peuvent s’obtenir en ajoutant les différences tabulaires des sinus et des cosinus correspondants. D’ailleurs, la tangente croissant depuis O jusqu’à -t-‘50 , tandis que le sinus et le cosinus restent compris, dans les limites des tables, entre o et i, les différences tabulaires relatives aux tangentes doivent à priori être les plus grandes. En résumé, un arc est donc toujours mieux déterminé par sa tangente.
38. Nous avons laissé de côté le cas où les différences de la * table variant trop rapidement, on ne peut plus admettre la pro-
TUIGONOMÉTniE. 349
portionnalité entre les accroissements des arcs et ceux des iôgitrithmes de leurs rapports trigonométriques.
Dans ce cas, qui est celui des petits arcs, on peut regarder les arcs comme proportionnels à leurs sinus ou à leurs tanr gentes (31, Admettons que a soit le nombre entier de secondes de l’arc considéré, et que h en soit la partie décimale,
on aura
d’où
sin(a-f-/i) a + h tang(rt-4-/j)
sin a
tanga
logsin (a -t- A) = log sina -t- lo^(a -H. A) + logtang (a + A) = log tanga + log(a -t- A} + L.a.
Oa peut remarquer immédiatement que, puisqu’on a
sin (a -t- A) cos (a -t- A)’ ,
tang(a + A) =
on a aussi
log cos (a -t- A) = logsin [a + A) — logtang (a c’est-à-dire, d’après les formules précédentesj
log cos {a + h) ^ log sin a — log tanga = log cos a.
Par conséquent, les arcs a -l- A et a ont le même logarithme cosinus. C’est ce'qu’indiquent les tables. On peut donc, dans ce cas, négliger la fraction décimale A.
Reprenons nos formules et cherchons log sin 17", 94. On a ici . «
• a = 3787" et A = o",94.
Les Tables de Callel donnent immédiatement
logsin a = log sin i°z' 17'= 2,2580742.
La table de logarithmes des nombres donne *
log (a -h A) = log 3787,94 = 3,5726823, loga = log 8787 =3,5725231,
d’où
La = 4,4274769.
Il viendra donc, en faisant la somme,
logsin (a -i- A) = logsin i“2' i7"',94 = 2,2581834.
On opérerait de mciTic' si l’on demandait log tang (a -1- A). Si l’on voulaitavoir logeot (a-f- A), on chercherait logtang(a-l- A), et l’on en changerait le signe. Si l’on dematldail log cos (a + A), on chercherait, comme nous l’avons déjà dit, log cos a.
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I lUGONOMélUlE.
Si l’on se seil des tables a cinq décimales données par M. lloüel (*), on opérera comme il suit. On trouvera,, audessus de chaque colonne marquée /V dans la Table de logarithmes des Nombres, l’indication des degrés et minutes renl'ermés dans les arcs dont les nombres de cette colonne représentent l’expression en secondes (les secondes {Additionnelles sont marquées de cinq en cinq dans une colonne à gauche de la page. Les Tables de Gallet présentent une disposition analogue). Au-dessus de la colonne intitulée /-og’., se trouve, le logarithme qu’il faut ajouter au logarithme du nombre considéré dans la colonne /V, pour avoir celui du sinus de l’arc qu’il représente; c’est-à.-dire tjuc ce logarithme additionnel est celui
du rapport ^ ■> mais au^r/uenlé de lo. Si l’on cherche un logarithme tangente, il faut remplacer les deux derniers chiffres
, . sin« . 1 . . J • . .
de log par ceux qui, places a droite, en sont séparés par
le signe (;) : on a alors
log
tang a
