U AC
sin B = -) a
^ /> = asin B.
Les deux angles aigus B et C étant complémentaires, on peut remplacer sin B par cos C, et il vient
b = a cos C.
La définition du cosinus (3) permet de poser immédiatement celte relation.
Il résulte de ce qui précède que, dans un triangle rectangle, chaque côté de l'angle droit est égal à l’autre côté multiplié
TniCONOMÉTRIE.
[Htr la tangente de f angle opposé ou la cotangente de l’angle adjacent,-
En effet, on a 6 = rtsinlJ et c=r«cosB. Si l'on divise ces deux égalités membre à membre, il vient
h a sin B
c acosB
= tangB, d’où ù = ctangB.
On peut remplacer tang B par cotC, et il vient
b = c cot C'
La définition de la tangente (3) donne d’ailleurs directement
' tangB = --
i3. II. Dans un triangle quelconque, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés {^g. 18).
Soit le triangle ABC. J’abaisse sur le côté AB la perpendiculaire CD. Les deux triangles rectangles formés donnent * O alors (42) :
Fio ifi. ' '
CD = a sin B et CD = 6sinA.
Il efi résulte
•HJ,'» • b
a sin B O sin A ou — - —
sin A sin B
On aura, par conséquent, cette suite de rapports égaux
sin A sin B sinC"
44. III. Dans un triangle quelconque, le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, moins te double produit de ces mêmes côtés parle cosinus de l'angle qu’ils'
comprennent \Jig. 19).
Soit le triangle ABC.
J'abaisse sur AB la per- > pendiculaire CD. Si l’angle A est aigu, on aura (Géoin., 106)
n’ = -f f’ — 2C. AD.
Le triangle rectangle ACD donne, dans ce cas,
V D “= A ros \ . ^
II viendia, par suite,
a’ = b- f. c' — 2 /ic cos A.
338 THICOMUMÉTBIE.
Si l’angle A esl obtiu, on aura (Géom., 107) û’ = 6* -H c’-l- 2C.AD.
Mais le triangle rectangle ACD donne alors
Al) = 6cosCAD. ' •
L’angle A du triangle ABC et l’angle CAD étant supplémentaires, on aura (8)
cosC AD = — cos A
et, par suite.
AD = — 6cosA.
En substituant, il viendra encore
* a’ = 6’-t-c’ — aiccosA.
On aura donc, en appliquant cette formule à chaque côté, les relations :
a’ = ô’ 4- c’ — 2ÔCC0S A, ô’ = a’-(-c’ — aaccosB, c* = a’ + ô’ — a aô cos C.
45. En se rappelant le théorème fondamental des projections (16), on voit que chaque côté d’un triangle représente la somme des projections des deux autres côtés sur sa propre direction. On en déduit immédiatement les trois formules suivantes qu’il peut être utile de connaître ;
a = ôcosC-i-ccosB, ■ '•
ô = acosC-l-ccosA, ’ . . .
‘ c = flCosB-f- ôcos.\.
46. On peut, comme exercice, prouver (pie les deux systèmes de formules établis aux n°* 43 et 44 rentrent l’un dans l'autre Jorsipie la somme A 4- B 4- C est supposée égale à i8o“.
En elTet, de l'égalité
on déduit
et, par suite,
= é’ 4- c’ — ibc cos A é’ 4- c’ — a’
co s A = ■
1 bc
c'est-à-dire ,
d’où
. 5, 44’c’— — c* — a‘— ai’c’-t- aa’é’4- aa’r’
sin’A — a* — b' — c* 4- aa’è’ -f- aa’r’ 4- aé’.c^
. tricohométhie. ‘ ^ 35p
Quand on permute simultanément les angl(^ A, B, C, et les cétés opposés U, b, c, le second membre de la relation obtenue ne change pas, et l’on
obtient, par conséquent, des' valeurs identiques pour les rapports , l ‘ , a
sinB ^ sinC Qjjjjjjjg jj, relation 6’ r’ . .
. ' 'A -t~ B -f- C = I Bo®
entrainp le signe 'plus pour sin-A, sinB, sinC, la suite
sin’A sin’B sfn’C ■ ■
revient à celle-ci ;
sinA sin B a b
On pourrait de même des relations • fl» b
sin A sin B '
sinC
sinC
déduire celles démontrées au n° AS. En effet, on peut 'évidemment pu^r
d’où
fl
sin A '
fl.
sin A '
• icosC sinBcosC
é cos C -
ccosB sin C cos B ’
-ccosB
sin B cosC -H sinC cosB
ür le dénominateur du second membre de cette égalité représente sin (B-f-C) ou sin A, puisque la somme des angles A, B, C, est égale à deux droits. On aura donc , ' '
' fl = ^«cosC -f- ccosB.
