RÉSOLUTION DES TRIANGLES OBLIQUANGLES
53. La résolution des triatigles obliquangles présente quatre cas : les trois premiers correspondent aux.trois cas d'égalité deü triangles. On peut donner un côté et deux angles, deux'côtés et l'angle .qu’ils comprennent, trois côtés. Le quatrième cas est celui où l'on donne deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux : nous avons vu (6’éom., 74) qu’il pouvait y avoir alors deux triangles construits avec les données; ce cas est donc un cas
' douteux sujet'à discussion. ’
54. Premier cas. On donne le côté c et les angles K et h •. on demande les côtés a, b, cl le troisième angle C [Jig. 21 ).
TRIGONOMÉTRIE
TRIGONOMÉTRIE. 363
vL’anglc inconnu se déduit iminédiatemenl de la relalioh A + B + C=i8o».
On a ensuite (43) :
Fig. 21.
sinB
c sinC b
csinB
— : — TT
sinL
logft = logc-t-logsinB + I<sinC. .
55. Second cas. On' donne les deux côtés a, b, et F angle compris É : on demande le, troisième côté c et les deux angles Ae<B(/g. 2i). ^
. Comme pn a A B = i8o“ — C, on doit chercher à déterminer la différence A — B, de manière à trouver à la fois les deux angles A et B.
En supposant a > i, on a ‘
* ’ a sin ,\ ’ ■
î~sinB’ ;
d’où [-dlg. élém., 49) • *
a + b sin A -f- sin B •
• n — 6~sinA — sin B
Mais nous avons trouvé (26)
•1 • n lang-(A4-B)
sin A -t- siqB ” 2 ^ ^
sinA — sinB . i,.
tang-(A — B]
On a donc, en reiparquaht que
, tang- (A H- B) = tahg-( 180” — C) = cot-C, .»
Par suite,
cot - C
lang-(A — B)*
. ' / I ni «
Uing - A — B) = • c,Ot - C.
'log tang ^ (A — B) = log (« — b\ ■+■ log cot ^ C 4- C . (<i -i- i>)-
364 TRIGONOMÉTBIE.
Si les tables donnent ^ { A — B) = on aura simultanément
= tl°, 1 = 90" -T - C,
c’est-à-dire . •
. On pourrait tirer’ le côté c de la formule - = — 7*; mais on * a sinA
auraitainsi trois nouveaux logarithmes à chercher. 11 vaut ôiieux opérer comme nous allons l’indiquer.
De la suite • '
» sinA sinB sinC’
on déduit ‘ . ' t •
a-\- b ' ‘ c (tf'-l- ô) sinC
. sinA-4-sinB sinC sinA-f-sinB
Maïs on a (24, 26) '
slnO = 2sin - Ceos - C • 2 2 .
et
' sin A'-H sinB = 2sin - (A -l-.il) cos- (A — B). D'ailleurs, . .
sin - (A -+- B) = sin - (i8o“j — C) = cos-C.
. . sin - C
• SI n 1 * * * 2
Le rapport -7 — ^ se réduira donc à
sinA -f-sinB '
cos-(A — B)'
et il
viendra
{« -f- ô) sin - C
cos ^'(A B)
d’où
log f = log [fl + b] -t- log sin - C -t- ÏT eus - ( A — B)
Comme le calelil de la différence - (\- B) exige’ la rccheitlie
TniGOHOHÉTRIE. '
(le log (rt-l-6), on n’aura en rcalilé que deux nouveaux logarithmes à trouver.. '
Par cette première méthode, on a en tout'rinq logarithmes à chercher.
II arrive souvent dans la pratique, lorsqu'on a un réseau de triangles à caloyler,*que les côtés <i et 6 sont donnés par leurs ■logarithmes. Il faut pouvoir employer directement ces logarithmes et éviter de remonter aux nombres. Les indications . précédentes doivent dpnc être modifiées.
Reprenons la formule ' '
' * • . . • I , . ¥,1 Cl — h I ^
tang-iA — 9 =• rCOt-C*
* fl (} *
Divisons par a les deux termes de la fraction elle pren-
dra fa forme r • Posons
