I -ha

- = tangip, d’ou Iogtangç= logô— logn..

Il viendra (22) :

a — h I — tang* ,

7 = — — ü — °^=tang(45® — ?).

a-^b I -hHangf

Par conséquent, la fdrmule à employer sera celle-ci : '

< tang-(A — B) = tang (45" — If) cot-C, d’où ■ ■ ' •

.log tang^(A — B) = log tang (45" — ?) -t- logcot^C.

Dans l’hypothèse que nous considérons, le côté c .doit être directement calculé à l’aide de la relMion c = — parce qu’on connaît loger. On aura dotic

loge =*;logfl ->r log sin C -f- L sin A. '

, ir-

Le procédé qu’on vient de développer n’exige que le calcul de quatre logarithmes ; mais la recherche du cinquième logarithme qu’on a à trouver lorsqu’on suit la première méthode, est remplacée par celle de l’angle ?. L’avantage obtenu est cependant réel, puisque la méthode ordinaire’ exigerait, outre le

366 tkigomométhie.

rafcul de cinq logarithmes, qt on remontât deux fois aux nombres pour trouver fl et 6.

Enfin, si l’on donne b directement et fl par son logarithme, on pourra employer les formules

c sinC

a sin A

et /» = flCosC -h«co^.

On en déduira :

csinA=flsinC, .

ccos A =6 — flcosC.

En divisant ces deux relations membre ,1 membre, on trouvera

tang A ;

fl sin C — «cos(;

On aura donc

log tang A = logfl log sin C -f-E (é — ACOsCii-

Il faut remarquer que l’angle A sera aigu ou obtus suivant que tang A sera positive ou négative, c’est-à-dire suivant que fe dénominateur b — iACOsC sera positif ou négatif. Les quantités négatives n’ayant pas de logarithmes élém., 2i7), |Sour que la formule se prête dans tous les cas au calcul logarithmique, on devra donc écrire

log± tang A = logfl -I- log sinC 4- — ncosC.),

les signes p/us et moins se correspondant dans lesÿeux membres. C’est-à-dire que si b — acosC est une quantité négative, 'on changera le signe de cette quantité en môme temps. que celui de tang A; dans ce cas, les tables donneront, au lieu de l’angle A, l’angle i8o” — A. *■

Une fois A connu, on aura c par la formule c = et B

sin A

par la relation A -*- B 4- C = i8o”.

On a seulement trois logarithmes à chercher, savoir ceux des quantités sinC, cosC, b — acosC; mais il faut en outre calculer fl cos C. Cette dernière méthode est cependant la plus simple des trois qu’on vient d’exposer; car, si l’on voulait avoir recours à la méthode précédente, il faûdpit déterminer logé et l’angle puis calculer ensuite quatre logarithmes ; et si l’on employait la méthode ordinaire, il faudrait remonter aux nombres pour trouver a, 'et chercher cinq logarithmes.

CoVnme exercice, et pour montrer de quelle manière on peutintroduire dans les relations trigorfométriques un angle aujciliaire afin do rendre W formules calculables par logarithmes, nous nous proposerons de trouver dueclemrm le cêlé c. •

■TniGOKUHÉÏBlE.

On a l'équaüon

= aa^cosC. . . •

Multiplions alors par sin’ - G + cos’ - C = i et remplaçons cos C par

cos’ - G — sin’ - G. Il viendra a a

c’= (rt’ + è’) ^sifi’ ^G + cos’^G^ — iftb ^cos’i G — sin’ ^G^i

c’esl-à-dire

.On en déduit

c’ = (rt-+- /i)’8in’iC-(-{n — é)’cos’ ^G.

r («— ^)’cot’ - G~|

ç’=(. + 6)’sin4G[.+ — ■]■

Si l’on pose alors

il vient

(n — é)cot-G

(a-l-i)’sin’- G (n + é)sin-G

c* = ; et r'±^ ■ *

cos’<p cosy

' . if faut noter avec soin que l’angle auxiliaire 7 est précisément l'angle ^ (A — B] : la seconde marche reproduit donc identiquement la première.

56.* Tboisièhb cas. — On donne les trois côtés a, b, es' on • dernande les trois angles A, B, C (^g. 21 ). ^ , ^

■I)e la formule / <•

on déduit

a*= 6’+ c’ — aftecosA, À’ -j- c’ —