TlUGONOMÉTRIE
On peut donc écrire » • • • - >
1 — ‘cos\ a' — [b — [a + b — c)(a — b-^c)
en SC rappelant que la différence de deux quantités est égale . • au produit de la somme tfe leurs racines carrées par la, diffé- ’ ronce de ces mêmes racines.
' . ; On aura de même . , .*■
•. iM-c’ — a’ 2 bû b’ -h c’ — a’
I cos A = I H r = — = r— »
. abc abc
•d’ou ^ , •
/ I 4- cos A (fc-t-c)* — à* (ft-t- c-+-a) (6 4- c — rf)
Représentons, pour simplifier, le périmètre du triangle par ap,
' Nous aurons ' * ' . . •
a-^-b -\-'c=ap, ’n — b-hc^a{p—b),
Il'vifendra, par conséquent, en supprimant le facteur 4 commun haut et bas i • . ’
• 2 On aura donc
•.siniA= y/
On trouvera de Inème
1 4- cos A
cos-A.= V
lp(p — a)
/ bc .
cos^b = y
f ac^
•cosic = t
ab *
En divisant ces formules.membre à membre et deux par duiix, on obtiendra les relations suivantes très-symétriques et trèsfaciles à retenir : . • • , ’ . • - ,
Digit^ed by Googic
TIIIGO.VOMÉTRIE.
Tons les radUaux indiqués doivent être pris avec le signe plus, puisque les demi-angles tl’un triangle sont nécessairement aigus.
Lorsqu’on ne veut qu’un angle, chaque espèce de formule exige la recherche de quatre logarithmes; mais lorsqu’on les veut tous, les formules sinus exigent qu’on calcule six logarithmes, les formules cosinus sept, et les formules tangentes quatre seulement. Ce sont donc ces dernières qu’il faudra employer. De plus, en y ayant recours, on détermine les angles cherchés avec une plus grande exactitude, comme nous l’avons déjà fait remarquer (37). On aura
logtang^A =-[log(/j — 6)-+-log(/> — c)-+- L/)-|-L (/> — «)], logtang^ B = ^[log(/> — rt).-e-log(p — r)-h Lp -(- L(/>— • 6)],
log langue = ^[log(/> — a) -+- log(/> — 6) -+-Lp -h L(/> — c)].
Il convient de calculer d’abord les quantités p, p — a, p — b,
P — c, et leurs logarithmes directs et préparés; puis, on n’aura plus qu’à substituer les valeurs trouvées dans les formules ' . ci-tlessus.
Pour que le triangle soit possible, il faut que chaque cèté soit plus petit que la somme des deux autres. Si cette condition n’est pas remplie, si l’on a, jear exemple, c'p>a+b, on aura nécessairement a<l6-l-c et b<ia-^c. Par suite, on trouvera o.^n-t-è — c ou p—c négatif, o<[è-f-c — a ou p — rt positif, o<;rt-f-c — b ou p — b positif. La valeur de
tang^A sera donc imaginaire et indiquera l’impossibilité du problème. Il en sera de même des valeurs de tang-B et de tangue.
r>7, Qi'ATBIÈmk C..VS. On donne les deux râles a, h, et ünnfije. A; on dcnumde les deux unifies B,C, et le tmisième râle r (fig. a?.).
La relation
3^0 TKIGONOMÉTRIE.
L'ungle B étant connu, un aura
Knfin, le cété r sera donné par la formule
asinC
'■= — r> sinA
d'où
loge = loga-(- logsinC + L.sinA.
Il faut discuter les valeurs obtenues. A un même sinus, correspondent deux angles supplémentaires. Par suite, les tables faisant connaître l’angle aigu B
qui a pour sinus la valeur ^ ■> il est nécessaire de chercher dans quels
cas on doit admettre ou rejeter, comme nouvelle solution, l'angle obtus B', qui satisfait à la relation
Or, si l’angle donné A égale ou dépasse 90", la solution qui correspond à la valeur B' doit évidemment être rejetée (Céom., 37), et la condition de possibilité du problème est n> b.
Si A est plus petit que go° et si la valeur B' est admissible, on aura pour C les deux valeurs
La première valeur de C sera toujours admissible ; mais la seconde C' ne le sera que si l’on a B > A ; ce qui entraîne la condition b > a.
En résumé,// n'y aum donc deujc sohuions que, lorsque Canglc donné A étant aigu, le côté opposé a sera te plus petit des deux côtés donnés a et b.
C.omme vérification, en désignant dans cette hypothèse par c et c' les deux valeurs du cété c, on devra avoir
Dans tout autre cas, le problème n'admettra qu’une solution et le triangle sera complètement déterminé.
Pour que le triangle soit possible, il faut d'ailleurs qu’on ait toujours sinB<i ou ésin A<o. MaisésinA représente la hauteur CD. On retrouve ainsi la condition indiquée en géométrie ( 74).
Expressions trigonométriques de l’aire d'nn triangle.
58. Supposons d’abord qu’on donne les deux côtés n, b, et l’angle compris C {Jig. ax). On aura, en désignant par S l’aire cherchée.
