S = -.CD
Le triangle recUuiglc .\CD donnant CD = ôsinA, il viendra
S = -ôcsin
TRIGONOMÉTRIE. 37 1
L’aire d’un triangle est donc égale à la moitié du produit de deux côtés par le iinus de l’angle qu'ils comprennent.
Si l’on donne les trois côtés du triangle, il faut remplacer dans la formule précédente sin A par sa valeur en fonction des côtés. Or on a ' ‘
et
sin A = 2 sin - A cos - A 2 2
sin
— b){p — c) bc ’
cos - A :
bc
c’esl-à-dire
= — a) (p — b)ip — c).
Si l’on substitue cette valeur dans l’équation
8 = i 6c sin A,
on Irouve
s = v'/» (/> — «) IP - f>) (P — c).
Telle est l’expression de l’aire d’un triangle en fonction de ses trois côtés (*).
Enfin, dans le cas où l’on donne un côté c et deux angles A et B, il faut, dans la formule S = ^6csinA, remplacer le ,
côté 6 par sa valeur
J csinB ' csin B • sinC ~sin(A-t-B)
Il viendra alors
1 sin A sin B
' S = - c’ pr •
2 sin{A-+-B)
Toutes les expressions obtenues sont calculables «par loga-
( * ) On peut remarquer qu’en multipliant entre elles l'es râleurs des sinus, ou celles des cosinus, ou celles des tangentes des demi-angles d'un triangle (56), on obtient d'après l'expression qu’on rient de trouver les formules suivantes : ,
sin - A sin - B Bin - C = — — < a 2 a pabc
cos - A cos - B cos - C = ,
a a a abc
tang - A tang - B tang - C. = a a a p‘
TmG0^OMÉT^IF..
lillimes. On aur.i :
logS = loR /> -V lofif -t- log sin A L. 2,
logS = - [log/> -H log [p — «) -h log [p — b) -I- log [p — g)).
log s = 2 log c -f" log sin A -|- log sin 1$ + . 2 -t- L. sin ( A -+■ B).
Comme application des formules précédentes, proposons-nous la question suivante ; Dr tous les triangles inscrits lions un me me segment, <]ucl est celui dnnt Caiiv est un maximum ?
Si l’on désigne par c la' corde du segment, l'angle opposé C restera constant pour tous les triangles. L’aire de ces triangles aura pour formule
sin A sin B
sin f A + B)
L’anglaC étant constant, il en est de même de la somme A + B.Uquestion revient donc à déterminer le maximum du produit sin A sin B. Ce maximum correspond (iO, 3") à la condition A = B. Donc, le triangle demandé est le triangle isocelé inscrit dans le segment considéré.
Données de rnlcul. Nous terminerons en donnant tous les éléments d’un triangle obliquangle qui peuvent entrer dans les calculs précédents , ainsi que leurs logarithmes. On fera usage du tableau indiqué , comme nous l’avons déjà dit au n° 52.
logo = 3.7C17024 log/; = 3,86147735 loge = 3,9435489, io857",9, — rt= 5o8o«,9, p - b = 2700* ,2., p — c=2oyG'*,S
log/; = 4.0357459, log(/; — o) = 3,;;o594o6, log(/; — /;) = 3,5682252, log(/; — c) = 3,8173947,
A = 4o"5G'o", B= 54" 16' 8", 48, C = 84"47'5i',52, logsinA ="1,8163609, log sin B =7,9094319, log sin C =j, 9982073, logeos A =7,8782186, loscosB= 1 ,7668981, log cosC = 2, 95748.15, logtangA= 7,9881423, logtangB=o,i43o338, log tangC = i ,0407268.
