EXERCICES ET APPLICATIONS

.59. Expression trigonométrique de F aire iF itn quadrilatère quelconque, en fonction de ses diagimales et de Pangle quelles forment (fig. 28).

■»■ Fie. 23.

Soient D, D’, les deux diagonales AC, BD ; soit « leur angle. On aura, d’après la figure

tr AOB = - dd' sin a,

IrBOC = if/’ersina,

ïrCOÜrrif/Vrsina,

U l)OA =

' TlilGONOMÉTRIE.

Par suite, en désignant l’aire cherchée par S, il viendra

S = ;!• s\nx(M'+ir<r -t- ,rd"’+iru )

c’est-à-dire

s = ^ sin a [( I'/ fT*') ft H~ ( ) fi'”

s = i8ina(«/4-rf")(rf'4-^/") = - DD'sina.

On retrouve ainsi ce théorème do Géométrie : Deux qumlriUaères sont équivalents lorsque leurs diagonales se coupent sous le meme angle et sont égales.

60. Expressions des aires des polygones réguliers de n et de 2 n côtés, inscrits et rirconscrits au cerile de rayon R, en fonction de n et de R. Rapjmrts de ces aires [fig. 24)-

Le polygone régulier inscrit do n cétés se compose do n fois le trian-

glo AOB. Désignons par a = -^ l’angle au centre

c I P de CO polygone. On aura (88) *'

Ir AOB= - R’, sin a.

Par suite, l’aire s du polygone inscrit sera ■■

s~ Sina.

. Le polygone régulier circonscrit de n côtés so compose de n fois le triangle COD. Le triangle œo a pour hauteur R et pour demi-base ' , ■,< ^

CI = Rtang-z.

On aura donc ‘

tr COD = R’ langea.

L’aire S du polygone circonscrit sera par conséquent .

S= «R’tang-*. «î*

Cherchons le rapport ^ : il viendra

2Sin-aC0S-a .

s Sina , 2 2 , I

- =; — := fOS • - a.

Si I a

atang-a atang-a Si I on suppose n — G, on a

■ cc — 3i>".

De la relalion on déduit alors

riUGONUltÉTKlE.

*cos6o“ = cos’ 3o°— sin’. 3o",

C08*3o®= cos6o°-4-8in’3o° = - v

Ainsi, le rapport des aires des hexagones routiers inscrit et circonscrit

est égal à - : c’est là un théorème connu de géométrie.

Si J’on désigne par s' et par S' les aires des polygones réguliers inscrit et circonscrit de an cétés, on aura évidenunent (en remplaçant n par an

et a par^a^ ,

1'= nR’sIn-a, S'— anR’tangŸ«-

Comparons s et S à r' : nous trouverons s aina

asm -Z a

, sin-z

= C08-z et j: = CO8- Z.

tang~z

Par suite, on a

r’est-à-dire que Faire du polygone régulier inscrit de an côtés est la moyenne proportionnelle tics aires des polygones réguliers inscrit et circonscrit de n côtés.

Par exemple, l’airu du carré inscrit étant égale.à aR’, celle du carré circonscrit é 4 U’, 011 011 conclura que l'aire de l'octogone régulier inscrit a pour expression v^aÙ’. 4R’ ou aR’y^; ce qu’on peut facilement vérifier par la géométrie.

On pourrait facilement trouver S' en fonction de r, S et s\ Comparons s' c# Sl néus aurons

a langez

sin-a

COS 7 a

Mais I -t- cos - Z =: a cos’ - a. Par suite, a 4