SC
sin (t>cD — Sf' D)
Le triangle rectangle Sc'D donne d’ailleurs SD = Sc'. sin Sc'D.
On aura donc en résumé
SD
cc'.sinScD . sinSc'D
Fie- 37-
sin (Scl> — Sc'D)
Ajoutant à SD la hauteur du graphomètre, on obtiendra la hauteur demandée.
3" Déterminer la distance d un point donné à un point inaccessible [Jig. 27 1 .
Soit AB la distance demandée. On mesurera avec la chaîne une base quelconque AC, à iKirlir du point A. Puis on visera le point B à l’aide du graphomètre, en se plaçant successivement aux points A et C. La base AC doit être telle, que les angles C \B, ACB, ainsi déieriuinés, ne s’écailenl pas beaucoup de jS" (on sait (|ue
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TaiGOHUMÉTniE. 377
les angles trop aigus nuisent à l’exactitude des calculs). ;Le triangle ABC donnera alors
AC.sinBCA
~ sinABTT'
L’angle ABC est le supplément de la somme des angles mesurés.
• 4" Déterminer la distance qui sépare deux points inacces-
sibles {Jig. a8).
Soit AB la distance demandée. On mesurera, sur la partie accessible du terrain une base Cl). Puis, à l’aide du grapho- , mètre , on déterminera les
’*• quatre angles formés par CD
avec les côtés adjacents et les diagonales du quadrilatère ABCD. Si ce quadrilatère est plan, l’angle ADB sera connu comme différence des angles CDB et CDA. Mais si, comme il arrive presque toujours, ce quadrilatère est gauche, on devra mesurer directement l’angle ADB.
Ceci posé, on connaîtra dans le triangle CDA un côté CD et deux angles C.DA, ACD :
on pourra donc calculer AD. De même, on connalfra dans le triangle CDB un côté CD et deux angles CDB, BCD : on pourra donc calculer BD. Le triangle ADB, dans lequel on connaîtra alors deux côtés et l’angle compris, permettra ensuite de déterminer kt distance inaccessible AB.
On aura successivement, en désignant par a, b, d, les côtés.' du dernier triangle, et par A, B, P, ses angles :
. CD.sinACD CD.sin BCD
^ sin C,AD ’ sin CBD
•Pouvant connatlre les côtés b et a par leurs logarithmes, on posera
tangç.
et le triangle ADB donnera (55)
^ tang^(B — A) = tang(45“ — ip)cot^D,
relation à l’aide de laquelle on calculera les angles A et B. On aura ensuite
a sin D
Ml ou d =
sin A
378 TKICOKOMÉTRIE.
Les formules logarithmiques à employer seront, par conséquent, log langç = logfl — logfr,
c’est-à- dire
log tang f = logsin BCD + L sin CBD -H L sin ACD logsin CAD,
log lang i (B — A ) = log lang (45“ — y )-4- log col ^ D;
logrf = log CD -h log sin BCD + L sin CBD 4- logsin D 4- L sin A.
5® Prolonger un alignement au delà d'un obstacle qui arrête la vue ijig. 29).
On veut continuer la ligne AB au delà de l’obstacle O. Après avoir chaîné la distance AB, on choisit un point E d'où l’on
puisse apercevoir à la fois AB et la partie du terrain où doit se trouver le prolongement de AB. Puis, on vise ce point E avec le graphomètre, en se plaçant successivement aux * points A et B. On connaît alors dans le triangle ABE un côté et*deux angles, de sorte qu’on peut calculer le côté AE. Soit CD le prolongement cherché, et supposons qu’on trace à partir du point E un alignement EF qui vienne couper ce prolongement au point C : c’est le point. C qu’il faut déterminer. Or, dans le triangle AEC, on connaîtra le côté AE et les deux angles adjacents; par suite on pourra calculer EC et fixer ensuite, à l’aide de la chaîne, la véritable position du point C.
On connaîtra l’angle ACE, troisième angle du triangle .AEC. Il restera donc à tracer CD, de manière que l’angle ECD soit le supplément de l’angle ACE.
fi” On donne tmis points A, B, C, sur une cfjfte: ces points sont situés sur un terrain sensiblement horizontal. Les distances AC et CB ayant été vues (T un quatrième point M sous des angles
. U et ^ qu’on a mesurés, on
•■'C- demande de;, rapporter ice
point M sur la carte {Jig. 3o).
La solution géométrique est évidente. Passons donc immédiatement à la solution trigonométrique.
On connaît le triangle ABC : on connaît par suite le côté Bl' = « , le côté AC = f>, cl l'angle C.
D: iiti, : , CtJOgle
THIGOHOMÉTRIE. Syÿ
Prenons pour inconnues principales l’angle MAC = ar et l’angle MBC = jr. L’angle AMB représenlanl la somme des angles a et p, le quadrilatère AMBC donnera immédiatement
Il faut donc chercher la différence x — y. Pour cela, nous exprimerons dans les deux triangles AMCet CMB la valeur d\i côté MC. Il viendra
MC
sma
ôsinx rtsin
sinp
ôsino: asinr
MC = — : — > smp
sinx nsina
et
sina sinp sinj, 6sinp
n asina -, y ■
Posons = tangf. Nous aurons ^
sina: tangf
sin/ I ’ “
et nous en déduirons facilement
sinx — sinr lang® — i , .
sinx-t-sin/ tangy-f-i ^ '
ou (26)
tang-(x-jr)
1 = tang(y — 49").
tang-(x-f-j) •
Or - (x4-r)= >80" — aura donc • 2 ' ' a
tang^(x — r) = lang(ç-^45®)lang ^180® —
Cette formule permettra de déterminer la différence ^ (x — ^-)
et, comme on connaît la somme ^(x -h/), on trouvera immédiatement les inconnues x et /. Dès lors les triangles AMC et CMB seront complètement déterminés puisqu’on y connaln-a un côté et deux angles, et l’on pourra calculer les distances du point Maux points A, B, C.
Il peut arriver qu'on ait
TRlGOJNOMÉTniE.
tung I 180“ J- j prend alors une valeur infinie. Dans
ce cas, on a
iSo”.
Les angles C et AMR sont alors supplémentaires, c’esl-à-dire que le quadrilatiîre AMBC est inscriptible, et que les deux segments capables des angles a et p, décrits sur les côtés AC et BC, coïncident.
Le diamètre du cercle circonscrit au quadrilatère .\MBC { /îg;. 3i ) aura
pour expression, soit -7^- dans le triangle rec-
Fig. 3i.
Bina
tangle CAD, soit dans le triangle seclanglc CBD ; et l’on en conclura h
^c’est-à-dire
flSin a
sina
sin^’
Le facteur lang
^ é sin ^ sin fi ' sin
= -A7 ; — 1 et î)' = 45“.
étant infini , et le facteur
tangfy — 45?) étant nul, la valeur de tang-(x— se présentera
sous une forme ijidétermmée ( .‘ilg. elr/n., 127) ; ce qui doit être, puis<]uo le iKiint M peut se trouver en un point quelconque du cercle circonscrit au quadrilatère AMBC..
QUESTIONS PROPOSÉES
1” On suppose un remblai de chemin de fer ayant une hauteur de /<*, une largeur de /“ au sommet, et des talus gazonnés dont l’angle à l'horizon a P pour tangente. Ce remblai étant établi sur une longueur de
on demande combien il a exigé de mètres cubes do terre et do mètres carrés de gazon.
2“ Connaissant dans un triangle ABC, l>, r et A, calculer la hauteur BD et les segments AD.et 1X3; en conclure l'angle C et le côté a.
3“ On donne les deux côtés de l’angle droit d'un triangle rectangle ABC et la projection BP de rhypoténusc sur l’axe OX ; on demande l’angle x.
Conclure de la marche suivie un moyen do résoudre l'éxjuation
m cos .r -t- n sin x = 1/ ,
où /«, «, q, sont des nombres donnés.
(On calculera l'angle ABC = a et l'angle CBP = fi. )
3" Calculer la surface d’un irapezo dont on donne les bases et les diagonales.
TRU:()>OMÉTIUE.
4" Oilonlor l’iiire il'iin lni|H'ZC iJunl on cunnail les qiialru rtMés.
5" Un donne deux colés adjacents d’un parallélv^ramnie el l'angle forfiié (üir l’un d'eux avec, la diagonale voisine ; calculer les angles el les diagonales du parallélogramme.
f>" Dans le triangle ABC, on donne un côté et deux angles : calculer les trois bissectrices.
7" On connaît deux côtés d'un triangle- et sa surface : résoudre ce triangle.
8" Soient r el K les rayons des cercles inscrit el circonscrit à un triangle ABC. ; soient r\ r", r”, les rayons deS cercles ex-inscrits à ce triangle; soient S la surface du triangle et ip son périmètre ; démontrer les formules . ; - .
S = pr= (yj— z?)r'= [p—b)r’~ {p — c)r”,
tang -J A , /> tang - B, r" == y> lang - C ,
“ = r: TT'» ’ S = y/r
Dans le cas d’un triangle rectangle, on a
(/•' est le rayon du cercle ex-inscrit qui louclie le côté a\ r’ celui du cercle qui louche le côté h, etc. )
9° Par un point A pris dans le plan d’un cercle O, on mène une sécaple quelconque BC : prouver que le
produit lang ^ AOB lang ^ AOG est constant.
lo" Trouver dans quel cas la surface du triJnglc formé par deux rayons d’un cercle et la corde do l’arc qu’ils interceptent, est un maximum.
I r On donne la distance des centres BC et les rayons BA et CA de deux cercles qui se coupent : calculer l’aire do la partie commune à ces deux cercles.
i^»“ Résoudre un triangle, connaissant les trois Jiauteurs.
i3° Déterminer le triangle dont les côtés sont exprimés par trois nombres entiers consécutifs, el dans lequel le plus grand angle est le double du plus petit, i }" Partager un arc en deux parties telles, que la somme ou le produit des-cordes des deux arcs obtenus soit un maximum.
iS® Connaissant les rayons et la distance des centres de deux circonférences, calculer les lôngueurs^de leurs tangentes communes et les angles qu’elles forment avec la ligne 'des centres.
TniGONOM^BIE.
