FORMULES FONDAMENTALES

63. Un triangle sphérique renferme trois côtés et trois angles. Résoudre un triangle sphérique, c’est déterminer numériquement trois quelconques de ses s^x éléments en fonction des trois autres. •

Nous conviendrons de désigner les angles du triangle considéré par les lettres A, B, C, et les côtés opposés par les lettres correspondantes a, b, c.

Si le triangle est rectangle, A désignera toujours l’angle droit et, par suite, a l’hypoténuse.

Sj l’on connaît les côtés d’un triangle sphérique p^r leurs nombres de degrés, il est facile de trouver leur longueur en mètres. On a en effet la formule

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Nous ne nous occuperons que des triangles sphériques dont tes côtés sont moindres que i8o“, pt nous rappellerons les propositions suivantes.

Nous remarquerons d’abord que, si l’on joint le centre de la sphère aux sommets d’un pareil triangle, on forme un angle trièdre dont les angles plans sont mesurés par les côtés du triangle sphérique et dont les angles dièdres sont précisément ceux du triangle [Géom., 266). Il en résulte que les angles du triangle doivent aussi être inférieurs à i8o“.‘

Dans tout triangle sphérique, chaque côté est plus petit que la somme des deux autres; la somme des trois côtés est inférieure ù 36o” [Géom., 267),

Dans tout, triangle sphérique, à un plus grand côté est opposé un plus grand angle, et réciproquemeht [Géom.j 269).

•Etant ilonné un triangle sphérique, il en existe toujours un

TiiiGonouÉTaiE. 3S;j

autre dont les côtés et les angles sont les suppléments respectifs des angles et des côtés du premier triangle. Ces deuxtriangles sont appelés supplémentaires ou polaires, et on peut les construire l'un au moyen de l'autre [Géom., 268).

La somme des angles d’un triangle sphérique est toujoun comprise entre deux et six droits [Géom., 269).

Enün, Y excès sphérique d’un triangle est l’excès de la somme de ses angles sur i8o°. Le rapport de cet excès à i droit mesure précisément l aire du triangle sphérique, lorsqu’on prend pour unité (Taire le triangle sphérique trirectangle [Géom., 276).

64. Nous allons chercher à établir des relations numériques entre les côtés et les angles d’un triangle sphérique.

. La relation foifdamentale, celle d’où l’on peut déduire toutes leS^ autres, est la relation qui existe entre les trois côtés du triangle et un angle.

Formules renfermant les trois côtés et un angle.

Soit le triangle sphérique AHC, soit 0 le centre de la sphère à laquelle il appartient. En joignant le point O aux sommets

A, B, C, je forme l’angle trièdre OABC (fg. 32).

Je prends sur l’arôte OA une longueur OM égale à i , et je mène par le point M un plan MNP perpendiculaire à l’arête OA.

J’obtiens , comme section , un triangle MNP dont l'angle M mesure le dièdre OA ou l’angle A du triangle ABC. Les deux triangles OMN, OMP, sont d’ailleurs tous deux rectangles en M. *

Ceci posé, les deux triangles MNP et ONP donnent (44)

NP* = MN’ + MP' — 2MN . MP. cos a,

NP' = ON’ -f-OP' — 2ON.OP.cosa.

Betranchons membre à membre la première égalité de la seconde, et remarquons qu’on peut écrire