OP' — MP' = OM’ = I
On aura en divisant par 2 tous les termes de l’égalité résultante :
0=1 — ON.OP.cosa -(- MN.MP.cosA.
En nous rappelant les définitions des rapports trigonon^-
Fig. 3î.
384 tuigouométhie.
trir|ues, nous pourrons poser
MN ,, . . sin c
—r^ = laiifî e, d ou = lang c = i
()M cosc
MP , , sin
^ = lang/>, dou MP = lang A =^,
MN . lange i
— — = sinf, dou ON = — : = 1
MP . , lang/> I
777r = sinft. dou OP=— r-^= f
ÜP • sin 6 cos 0
Subsliluanl, nous aurons
cosa sin fc sin c
0 = 1 i 1 T cos A.
, cos h cosf cos O cos r ^
Isolons cos fl dans le premier membre ei multiplions tous les termes par cos b cos c; il viendra
cos fl = cos b cos c -I- sin sin c cos A,
relation complètement générale, comme il est facile de s’en assurer.
En considérant successivement b;s trois arêtes OA, OB, OC, ou les trois côtés a, h, c, on obtiendra donc un premier groupe de trois formules, savoir
cos fl = cos b cos c + sin 6 sin c cos A, cos b = cos fl cos c -h sin « sin c cos B, cos c = cos fl cos b ■+■ sin a sin b cos C.
ü5. Formules renfermant les trois angles et un côté. Considérons le triangle sphérique supplémentaire du triangle ABC. Si l’on désigne ses cotés et ses angles par les mêmes Icllres accentuées, on aura d’après ce qui précède (G4)
cos a' = cos /»' cos c' -|- sin b' sin c' cos A'.
Mais (C3)
A'= l8o" — fl;
c’est-à-dire
cos fl' = — cos A, cos/*' = — cos B, cosc'= — cosC, sinft' = sinB, sinc' = sinC, eosA'=‘ — msn.
On pourra donc écrire
— cos A = cos B cos C — si n B sin C cos a
TniGONOMÉmiE.
ou, en changcani les signes des deux membres,
cos A = — cos B cos C -h sin B siii C cos a.
On csl ainsi conduit à un nouveau groupe de trois formules
cos A = — cos B cos C -H sin B sin C cos a,
' cosB = — cos A cos C -t- -sin A sin C cos A, cos C = — cos A cos B + sin A sin B cos c. .
66. Formules renfermant deux côtés et tes deux angles opposés.
. De la relation ■*
on déduit
Par suite.
cos a = cos b cos c sin 6 sin c cos A cos« — cos b cosc
cos A =
sin b sin c
... (COSrt — cos 6 cosc)’
sin’o sin’c
c'est-à-dire, en remplaçant au numérateur après réduction sin’èsin’c par (i — cos’è)(i — cos’c),
sin’ A ■= OU
I — cos’ b — cos’ c cos’ h cos’f — cos’a -i- 1 cos a cos h cos c — cos’ i cos’c f
sin’i sin’c ’
sin’A =
I — cos’rt — cos’i — cos’c -H 2 cos a cos h cos c
sin’è sin’c
On en déduit t, j
sin’A I — cos’a — cos’è — cos’c -f- 2 cosc cos è cosc
sin’ a
• sin’a sin’è sin’c
Cette valeur du rapport ne change pas quand on per-
mute les angles A, B, C et les côtés a, b, c. On a donc
sin’A sin’B sin’C
sin’a sin’è sin’c*
et, comme il s’agit d’angles et de côtés moindres que 180“,
cette première série de rapports égaux entraîne la suivante ;
sinA sinB sinC
sina sinô sine ^
Ainsi, dans tout triangle sphérique, les sinus des angles sont proportionnels aux sinUi des côtés opposés.
386 TRIGONOMÊTniE. ,
07. Formules renfermant deux côtés, l'angle qu’ils comprennent et l'angle opposé à l’un d'eux.
Prenons la relation
cosfl = cosfccosc -4- sin 6 sin c cos A ,
et remplaçons cosc par sa valeur
cos c = cos a cos 6 -(- sin o sin b cos C ;
nous aurons ainsi une relation entre les côtés a, b et les angles C, A. Il viendra
cosa=cosa cos’ô-4-sinasin6 cos6 cosC+sin6 sine cos A , d’où
cosfl(i — cos’6) = sinasin6cos6cosC-H sinôsinecosA.
Je remplace i — cos’6 par sin’ft, et je divise les deux membres de l’égalité par sin o sin 6; je trouve
cos a sin ft sin a
de même (66),
cos b cos C -4-
sin c cos A sin a
cos g sina
cote;
sin c sin C
sina sin A’
le dernier terme du second membre revient donc à sinCcotA. Par conséquent, la relation cherchée sera
*• * cotasinft = cosôcosC + sinCcotA.
Nous obtiendrons ainsi un dernier groupe de six formules^ car on peut considérer, en môme temps que les côtés a, b et l’angle C, soit l’angle A opposé au côté a, soit l’angle B opposé au côté b. Ces six formules seront
^ cot g sin 6 = cos 6 cosC -4- sin C cot A .
■■ cot fr sina = cos g cos C + sin C cot B,
cot g sin c = cos c cos B -4- sin B cot A , cot c sin g = cos g cos B + sin B cot C , cot ô sine = cos e cos A 4- sin A cot B, cot e sin 6 = cos b cos A 4- sin A cotC
Remarque. En résumé, nous avons quatre groupes, contenant en tout quinze formules : chacune de ces formules renferme quatre éléments, et le nombre i5 est celui des combinaisons qu’on peut former avec six objets pris quatre à quatre.
TRlGONOMéTIUE. 38^
G8. Pour avoir les fonnules qui ronviennciu à la résolution 4es triangles rectangles, il suflit de faire dans les précédentes À = 90°. On obtient ainsi les dix formules suivantes qui rontienuent chacune trois éléments : l’angle droii'étant toujours donné, il ne reste à considérer que cinq éléments dans le triangle, et dix est précisément le nombre des combinaisons qu'on peut former avec cinq objets pris trois à trois. Voici les dix formules : î
cos a = cos b cos^c , " ^
sin6 =sina sinl), ^
sine =sina sinC,
* tang 6 = tang <z cos C , tang c = tang O cos B, tang = sin c, tang B , tangc = sinft tangC, •
■ cos a =cotB cote,
cos B = sin C cos b , cusC =sinB cosc.
On en fait ifn usage continuel. Pour les retrouver, on petit se servir du moyen mnémonique suivant. Soit le triangle rectangle ABC {^g. 33). Considérons
Fig. 33.
les cinq éléments de ce triangle dans l’ordre où iis se présentent, en faisant abstraction de l’angle droit A et en ayant soin de remplacer les côtés 6 et c de cet angle
par
leurs compléments - — ô et
Le cosinus de l’un quelconque des cinq éléments sera égal au produit des cotangentes des deux éléments adjacents ou au produit des sinus des deux autres éléments.
Si l’on demande, par exemple, une relation entre les côtés a, b, c, on aura (puisque les côtés 6 et c sont séparés de a par les angles B et C)
cos a = sin sn — cos c.'*
Si l’on demande une relation entre l’angle B et les côtes d et b, il viendra (puisque le côté b est séparé dit côte a et de l’angle B par l’angle C et le côté c)
cos
— ôj = sinnsinB ou sin A = sin o sin B.
TMGO.MOMÉTniE.
Ën(in, si l'on demande une rclalion entre le côté « et les angles B et C, on aura (le côté « étant adjacent aux anglt's B et C
cos rt = col B cote.
69. Il est essentiel de s’arrêter un moment sur les propriétés des triangles rectangles qui résultent des relations précédentes (68).
La relation
cos a = cos 6 cos c
prouve que le cosinus de Vhrpotênuse est é^al au produit des cosinus des deux côtés de l’angle droit. Dès lors les trois cosinus sont positifs, ou il n’y en a que deux négatifs. Le cosinus d’un arc plus petit que i8o" étant positif ou négatif, suivant que cet arc est moindre ou plus grand que f)o®, il en résulte que, dans tout triangle rectangle, les trois côtés sont ensemble inférieurs à i)o®, ou qu’un seul remplit cette condition.
Les équations
sin b = sin n sin B , sin c = sin a sin C,
prouvent que le sinus de chaque côté de l'angle droit est égal au sinus de l’hypoténuse multiplié par le sinus de l’angle opposé.
Les équations
lang h = lang a cos C , tang c = tang fl cos B ,
prouvent que la tangente de chaque côté de l’angle droit est égale à la tangente de l’hypoténuse, multipliée par le cosinus de l’angle adjacent.
El les équations
lang /> = sin c lang B , lange = sin /) lang C,
montrent que la tangente de ehaque eôté de l’angle droit est égale au sinus de l’autre côté multiplié, par la tangente de l’angle opposé au premier côté. Les sinus d’arcs moindres que i8o° étant toujours positifs, il en résulte que ta tangente de chaque angle oblique (*) est de même signe que la tangente du côté opposé; en d’autres termes, les côtés de l'angle droit et te^ angles qui leur sont opposés sont de même espèce, c’està-dire ensemble plus petits ou plus grands que qo®.
L’équation
cos fl = col B cote
(*) Oi> .ippcilc angles obliques il’iin lri.in(;1o rcclanclc les angles non droits.
TRir.oNOM<!i'rRi£. SSy
cxiirinic (|UC te cosinus de ihypolénuse est égal au ftroduit des cotangentes des deux cuigles obliques.
Enfin les équations ,
cos B = cosi sinC, cosC = cos c sinB,
signiflenl que le cosinus de chaque angle oblique est égid au produit du cosinus du côté opposé par le sinus du second angle oblique.
