RÉSOLUTION DES TRIANGLES SPHÉRIQUES RECTANGLES
Fifi. 34.
70. Nous no considérerons que les triangles rectangles (jui ont un seul angle droit. En elfol, si le triangle ABC [Jig. 3a ) est bircemugU: en A et en B, le sommet C sera le pèle du côté c ( Génm., 260) ; de sorte que les côtés a et h seront égaux à 90”, et que l’angle C aura pour mesure le côté c ( Géom., 26i). Si le triangle ABC est trircctungic , chaque sommet sera le pôle du côté opposé, et les trois côtés seront égaux à 90".
Avant do parcourir les six cas distincts ^que présente la résolution des triangles racQingles, rappelonsune foi.s pour toutes qu’il s’agit de côtés ou d’angles compris entre o" et 160". Par conséquent, lorsq'u'un cïôté ou un angle sera donné par son cosinus, sa tangente ou sa eotaifgmtc, il sera complètement déterminé. Il n'en sera pas do même pour Un' côté 'cm un angle donné par son sinus, parco qu'à un mémo sinus, entre et i8u", correspondent deux arcs supplémentaires. Enfin, si la valeur d’un cosinus, d’uno tangente ou d’une cotangente est négative, on la changera de signe, et l’on prendra ensuite le supplément de l'arc ou do l’angle ^tenu à l’aide de la formule ainsi modifiée (Livre 1, Chapitre I). .
71. Premier cas. On donneVIiypoténuseactuncôté litondemande de ealcider le côté c et les deux angles B cl C [fig. 34).
L’équation donne immédiatement
On a ensuite
d ou
cosa = cos A COSC
fos a Cos h := --—i ■
• ..-ros/'
>in£ 1),
^ sin b
sm P ^ -T
EDfin, de on déduit
TRlCUMüMÉTIllE.
langé =: tanga cosC,
„ tangé cosC = : — —• tanga
L'angle B est donné par son sinus, mais on sait que l'angle B et le côté h doivent être de même espèce (69). Il n'y aura donc aucune ambiguïté, et le triangle sera complètement déterminé.
Il est souvent préférable d'opérer comme nous allons l'indiquer, en déterminant tous los éléments inconnus par leurs tangentes.
On sait (24) que
tang
sm -r I
I a / 1 — cos c
a ~ I ”” V ' + COSC cos-c »
On a d'ailleurs
COSC =
COSa
cosé
Nous aurons par conséquent (27 )
. I /cosé — cos a /] i~ T~ ï~ ~
Cetto valeur do tangue est nécessairement positive, puisque c est inférieur à 1 80®.
Si l'on donnait a et c au lieu de a et h, on trouverait de même
tang
On a
i é = y/tong ^ (a -t- c) tang i ( a - c ).
tang
— cosB
• cos B
r.hangeons dans cette égalité B en 90® 4- B , et rappelons-nous que cos(9o”4- B^ — sinB. Il viendra
• '«nfc'(45"-t iB) = y/Ï^J-
Si l'on remplace sinB jtar sa valeur on trouve (26)
tan:
^ . V lang-(" - f>)
La formvile
sine = sinasinL
TEIG050MÉTRIE.
conduirait de môme à tang
(45"-t-ic)=\ / ;
' y tang - (n — r)
B ou C devant être do môme espèce que b ou c, on saura d’avance si
l'angle 45°+ i B- ou l’angle 45° + surpasse ou non 90°, c’est-à-dire
on saura do quel signe affecter le radical correspondant. Enfin, puisqu’on a à la fois
il en résulte
cosC = et tangic = »/-
tango a V *
— cosC + cosC’
tang
ic=
a^ Y tanga
— tang/i
Si l'on romplace tanga par et tangô par on obtient
’ tang 6 sin h
La formule conduirait do môme à
i + f>) tange = tanga cos B
I „ /sin (a ■
tang -B = -1-1/ —7 — ° a Y ®'n a ■
En résumé, les formules propres au calcul du premier cas’ seront, (avec les données indiquées a et A)
tang —-‘r^ Uing ^ (a + A) tang ^ {n — b),
. I /sin [a -
Uing - t = H- à / — i —
lang -(a - A)
On n'aura que rjuutrc logarithmes à chercher.
Pour quo le problème soit possible, sin B doit être moindre que 1, c’està-dire qu’on doit avoir sin A < sin a. Cotte condition sera Mijours remplie, si a tombe entre A et 180° — A. Dans ce cas, on aura nécessaireracnl (c/l valeur absolue)
cos A > cos a et tangA< tanga,
c’est-à-diro que cosc et cosC resteront compris entre +i et — 1. Ainsi,
|)our que le triangle existe, il faut et il sujti'^ue l’iij/fol^usc tombe entre le côte donné et le supplément de ce côtitli ^
3pa
TKICONOMÉTRIE.
72. Deu\ièiik cas. On donne r/n/nlenusc a et un angle B ; on demande de calculer l'angle C et let côtés b et c (fig. 34 )•
Ôn aura
d’où
sinA = sinasinB, taoge — tangacosB, cosn = colB cote,
cote =
cotB
Lo cdté b est déterminé par son sinus, mais il est de même espèce que l’angle B, et il n’y a'qu'une solution. Si ce côté devait être mal déterminé par son sinus, on commencerait par chercher c ou C, et l’on aurait ensuite recours à la formule ■*
tang é = sin c tang B ou tang b = tang a cos C.
Ce second cas est toujours possible.
73. Troisième cas. On donne les deux côtés b et c -.on demande l’hvfwténuse a et les deux angles B <•/ C ( fig. 34).
On a
cosfl = cosécosc,
tang é = sine tang B, d’où tang B — ,
sine
tang c = sinè tang C, d’où tangC =
Si lo côté a devait être mal déterminé par son cosinus, on commencerait |iar chercher B ou C; puis l’on se servirait do la formule
tang c = tangacosB ou tang 6 = tanga cos C.
(>} troisième cas n’admet qu’une solution, et est toujours possible.
74. Oc^TRIÈmb cas. Oa donne un côté b de l’angle droit et l’angle B r/(H lui est op/x)sé : dh demande les rôtés a et c, et l’angle C {fig. 34 ). On jieut se servir des formules
qui donnent
sin b == sin asinB, langé — sin c tang B, cosB = cosé sinC,
siné
Sina = -r— „) sinr
sin B •
tangé
lângB’
sinC =
Mais il x.iut mieux, comme dans le premier cas, recourir aux formule.s suivantes. '
l.i's relations ^
..^sinA = sinasinB,
*■ sini siria.siiiC,
Remarquons que ces relations ne changent pas quand on permute dans la première les lettres a et B, dans la seconde les lettres « et C ; les égalité qu’on en a déduites resteront donc vraies, lorsqu’on y opérera une permutation analogue. Il viendra alors
lang
' V tang-(B-6)
tang(45»-|-ia) = 4 / ? •
^ V tangl(C-c)
Fn suivant une marche analogue à celle qui noos ai fait connaitro (7t ) la valeur de tang ^45°-|-^B^) on trouve
On a d’ailleurs
tang(45“+ic) = y/I±
Sine
tang ^ = sine tang B, d’où ~ sine =
^ tangB
sin6
'Ml:-: ^
Substituant et remplaçant tang 6 par tangB on aîÂW
farilcmont à ’ • ^ î*. ^
La formule tangc= sinù tangC conduit de mémo à ■ ^ ‘
• • , . • • <> Ce* ‘
\ /siniC+e) v» ' «rj i ;îf‘ -
*• “ Vsmc^*-
Enfin, nous savons qu’on a ( 71 )
ÉÉlittiÉiiHlMÉ. i. l<iLn41L,4j ■ . A .
trigobomAtaie.
La rclalion cosB= cosisinC donne sinC = Par suite (26),
lang (4504-5 c) = ÿ/col5(B4-6)coli(B-M-
relation cosC = cosc sin B conduirait do mémo à
tang (450 4- 5 B^ = ^ cot5(C4-c) cot5(C — c).
Pour résoudre le quatrième cas, on emploiera donc de préférence les formules
tang(45"4-5«^ =
/ >ang5(B4-^>)
V langi(B-6)
tang (45°+“^^ = ± y/ cot 5! B4- fc) COt i(B — A) ,
()iii donnent les éléments inconnus on fonction de leurs tangentes et n’exigent que la recherche de fjiunre logarithmes.
Le cas qui nous occupe admet deua: solutinnx distinctes. Supposons, en cITet, que le triangle ABÜC (fg. 35) satisfasse aux données. Si l’on prolonge les arcs BA cl BC jusqu’à leur nouvelle rencontre en B', le triangle AB'C répondra aussi à la question; car il aura pour célé AC = é et l’angle B’ sera identique à l’angle B. Les côtés B' A et B'C sont d’ailleurs les supplèmcnts dos côtés BA et BC, cl l’angle B' CA est le supplément de l’angle BC-\. Les doubles signes placés devant les radicaux des formules' précédentes correspondent donc aux deux solutions. Il faut voir mafntenanî de quelle manière les valeurs obtenues doivent
être assemblées.
■ *,' B doit être de même es/n-ce que b.
On a donc à la fois ô<9o* et B <90’. L’équation coso = cosfc cosc montre alors qucrtctr sont de mémo espèce; l’équation cosC = cosc sin U (irouNo que c et C sont aussi do mémo espèce. Par suite, lorsque b est moindre que 90", les éléments de la première solution sont donnés par les signes plus des radicaux, les éléments de la seconde par les signes moins de CCS radicaux.
Si b est >90“, on a aussi B >90°. La relation sin ô = sin «sin B montre que sinô est moindre que sin B; par suite, il faut qu’on aitô>B. L’équation cosfl — cosô cosr exige alors que a et r soient d’esjièce dilTérente. La formule cosC — cosc sin B montre que c et C sont toujours de mémeespiw. Par suite, si l'on prend le signe plus pour le premier radical, on prendra le signe moins pour les deux autres, et l’on aura les éléments de la première solution. Si l’on prend le signe moins pour le pre-
Diqjtized b.
TniCOnOMÉTRIE. 393
niicr radical, on prendra le signe plus pour les deux autres, cl l’on aura les cléments de la seconde solution.
75. CiMQUikiiE CAS. On donne le côte b et Fungle adjacent C ; on demande tes côtés a etc,. et FangleYi [fig- 34). ' * .
On aura ■>
cosB = cosÀ sinC, :• ,
tang6 = tangacosC, d’où = >
langc=sin6 langC.
Si l’anglo B devait être mal déterminé par son cosinus, on calculerait d’abord a ou c, et B serait ensuite donné par la formule coso == col B cote ou tangé = sine tangB.
Le cinquième cas est toujours possible cl n'admet qu’une solution.
76. Sixième cas. On donne les deux angles B cl C : on demande les trois côtés a, b, c (Jtg. 34 ).
On peut employer les formules ' ■
, cosfl= cotBcolC,
cosB = cosé sinC, d’où cosé= ,
sinL
cosC
cosC = cosf sinB, d’où cosc =
sinB
Mais il sera préférable, comme pour le premier et le quatrième cas, d’employer les formules suivantes.
Ôn a
lang
â® ~ V I -HO
USrt
CIW«
Remplaçons cosn par sa valeur cotB cotC ou
cosBcosC
SinB siiiC
Nous aurons
[>e meme,
— cos (B + C.) coslU —O)
. I , / 1 — eus
tang-o = \/
La formule cos B 2: cosé sinC donne cos B
Par suite.
rosé ~
lang -b ~
cos B
sinC- 006(90" — C)
j l'os ( 90" — V.) — cos B
V cos ( 90" — C) -I ' COsB
d’où résulte (27)
TRICOHOMÉTIIIE.
lang i é = y/ lang + 45“^ lang - 45” j
La formule cosC =: cosrsinB donnerait de môme
tangir=ry/ tang ^^î:^ + 45“^ tang — 45”^
En résumé, les formules à employer pour le sixième cas seront
Les conditions do possibilité du problème sont que — tombe entre n f
45° et i35Vque •' tombe entre — 45” et +35”. Il est facile de s'as-
surer que les Talours des trois tangentes sont alors réelles. Le problème n’admet d'ailleurs qu’une solution.
77. Noos achèverons ce qui a rapport à la résolution des triangles sphériques rectangles, en donnant tous les éléments d'un pareil triangle ainsi que les logarithmes correspondants. On aura soin de se rappeler qu’au point do vue numérique, on ramène toujours les ares considérés au premier quadrant (30). Ainsi, au lien do chercher rosé = cos 1 4o” 5a’ 40', on a cherché celui do — cosé= cosSq'y'ao", en prenant négativement dans les formules le facteur cosé (70).
n = 7i°24’3o', é = 1 40” 52' 40', c =ii4"i5'54*.
log sin a = 1 ,9767235, log sin 6 = 1,80001 34, log sin c = i ,q5983o3, log cos a = 1, 5035475, log— cosé =1,8897507, log — COSC =1,6137969, log tangn =0,473 1759, log — tangé = i ,9102626, log — tange =o,340o333. A = 90", B = i38"i5'45'. C= io5”52'39''.
log sin B = 1 ,8232909, log sin C = 1,9831068, ■ log — cos B = 1 ,8728568, log — cos C = 1,4370867, log — tangB = 1 .950434 1 , log — tangf. = 0,5460201 .
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TRIGONOMÉTRIE
