C-Ia
Nous aurons donc, pour délerminor les trois côtés inconnus, les trois formules
tang - " =
tang-
tang;
sin * A sin n
sin
sin —
sin - A sin a
sin
) sin —
sin - Asin %
(c-ii'
sin
1 sin ^B —
En examinant les conditions de réalité des expressions trouvées, on est ramené aux conditions de possibilité du triangle. Ces conditions, comme nous l'avons vu en géométrie, sont les suivantes i Si l’on donne . les côtés, chacun d’eux doit être plus petit que la somme des deux autres, et leur somme totale doit être moindre que 3Gd^. Si l’on donne les (rois angles^ leur somme doit tomber entré deux droits et six droits, c’est-à-dire que l’excès sphérique du triangle doit tomber entre o° et 3Go" ; chaque angle augmenté de deux droits doit être supérieur à la somme des deux autres angles, c'est-à-diro que chaque angle doit être supérieur à la moitié de l’excès spliériiiue.
80. TaoisiÈiiB BT Qi’ATaiÈME CAS. O/l thtinc deux côtés et T angle compris ou un côté et les deux angles adjacents : on demande de calculer les éléments inconnus.
Pour résoudre ces deux cas le plus simplement possible, nous chercherons d’abord les formules ou analogies de Neper, et noos les déduirons ôoi formules de Delambre.
Formnles de Delambre et de Neper.
On a
sin- (A-l-B)= sin i Acos- B-f-cos- Asin- B, a ' a -i a a ,-
cüs i ( A-hBl = cos - A cos - B — sin - Asin- B.
^00 TIUGüWOMÉTRIE.
Nous avons trouvé d’ailleurs (79^ Tes valeurs de
sin-A, siniB, cos^A, cos^B.
Si l’on substitue ces valeurs dans les égalités précédentes, il viendra
. > , » , P \ aui — . /
S'n,(A + B) ^ sinnsiné
sin — /sin;>Bin (p — c) sine
sin ( ;> —
sine
a) /sin/^sin (p — r)
V sinasin^ ’ >
I , . , sin/> /8in(/>— fl)8in(/>-é)' cos^( 4- ) sineV - sin fl sin A
Bin(^-c) ^/sin (^ — fl) 8in(/> A)
sine
sina sin A
Mais
8in/,sin(;,-e)^^^. smrîsino a
sin (;>-fl) sin (;;-<») ^ i ^
sinasiné a
On pourra donc écrire
■ sin(/3 — A) + sin(n — fl) i„
sin- A-+-B = — i-j— — ti- ! • co8-(.,
a sin c a
1,. sinfl— sin (p — e)
cos- A4- B) = — i 7—^ !-sin-C.
~ ' sine -*
Or (27)
sin fp — fc) -I- sin (p— fl) sine
asin-eco8-(fl — A) a a '
a 6in-fC08-r a a
. , , a sin -rcos - («-h*'»
8in/>-~sin /) — r) a a
a sm -r cos -r a a
On aura donc
sin -(A-h B) cosi(a — />)
cos-C
cos -f a
cos- (A-h B) cos-(fl-h^^ a ' a '
sin - C a
cos - r a
En partant dos valeurs de sin ^ (A — B) cl de cos^ (A — B ) cl en opérant d’une manière analogue, on trouverait les deux autres formules de
TRIGOnOWÉTIUE.
Deïambrt qui sont :
4oi
sini(A-B)
sin ^ (fl — 6)
cos-C
sin - c
rosl(A-B)
sin -(fl 4a'
8in-C
sin-c
Les six éléments du triangle entrent dans ces formules. Si on .les divise membre à membre dans l’ordre suivant : la première par la seconde, la troisième par la quatrième, la quatrième par la seconde, la troisième par la première, on obtiendra les formules de Neper, savoir :
cos ]-(a — b)
langi(A + B) = ^ cot^C,
cos-(o + A)
sin - (fl — 6)
tangi(A-B) = ^ cot^C,
8in-(fl4-6)
cos - ( A — B )
Ung-(fl-|-6) = -tang-c,
* cosi(A-l-B) • *
I sin-(A-B) ^
tang-(fl-i)= ; tang-r.
sin^(A + B)
Si l'on donne fl, b, C, on trouvera A et B au moyen des deux premières analogies, puis c en faisant usage de la troisième ou de la quatrième. Si l'on donne, au contraire, c. A, B, les deux dernières analogies feront connaître a et b, puis l’une des deux premières donnera C.
Souvent, dans le troisième cas, on ne veut connaître que je cété c. On SC sert alors de la formule
cosc = cosflcosf>-l-siufl siné cosC.
Il faut rendre cette valeur calculable par logarithmes. On met cesfl en facteur commun dans le second membre, et il vient
posons Nous aurons
co8c = cosfl (cos& -I- ainb tangfl cosC) ; tangif = tangfl cosC.
cosc = cosfl (cosè-l-sini tangy ),
ou, en remplaçant tang^ par
cosc =
cosflCos(// — y)
cos 9
aC
^01 TRU.UKOMÉTR1E.
SÎ, dans le qimtrièinr ras, on ne voulait connaître que l'angle C, on prendrait la formule
d'où Posons il \iendra
cosC = — rosA cosB+ sin A sinBcosc, cosC = — rosA (cosB — sinB tang A cosc). tangAcosc = cot-{>.
rosC= — rosA (cosB— sinBcot-]/),
, , rosi/
ou, en remplaçant cot-J/ par
— cosA sin ( i — B1 cosA sin (B— l*)
rosC î
sin-^ siiia
Rrmart/iie. Comme les côuis et tes angles du triangle sphérique considéré sont toujours supposés moindres que 180°, les quatre cas que nous venons d’examiner n’admettent jamais qu’une solution, et les deux derniers sont toujours possibles.
81. ClsoviÈME ET SIXIÈME CAS. On donne deu-x côtés et l’angle opposé à l’un d’eux ou deux angles et le eôté opposé à l'un d’eux : on ilemande de enlruler les éléments inconnus.
Supposons qu'on donne n,'h, A ou A, B, a. La relation (66)
sin B sin b sin A ~ sin a
permettra de trouver l'inconnue B ou l’inconnue b.
I.es inconnues C et c (communes aux deux cas) seront ensuite déterminées à l’aide de deux des formules de Neper. On aura, par exemple.
sin - (rt — fc)
lang - C = — cot-(A— B)»
' sin - ( n + /' )
sin-(A-l-B)
tanglf= — ^ tang ^(o- A)-
sini(A-B)
Pour quQ le problème soit possible, il faut d’abord que l'inconnuo sin B oiisiné tombe entre o et i (puisque B ou b est inférieur à j8o").
Admettons que cette condition soit remplie. Les tables donneront pour B ou i deux valeurs supplémentaires l’une de l’autre. Il s’agit de voir quand ces valeurs sont toutes deux admissibles.
Remarquons que tang^C et tang ic doivent être positives. Il faut donc
tjue les différences A — h et a — b soient de même signe, ce qui correspond au théorème suivant démontré en géométrie : Dans tout triangle sphérique, à tm plus grand angle est opposé un plus grand côté, et réciproquement, ’
Si la dernière condition indiquée n’est pas remplie, le triangle sera
TRiGONOMÉTRIE. 4'*^
impossible. Si elle est remplie par l’une dfes valeurs de B ou de b, à celle ' valeur correspondra nécessairement une solution.
En eiïet, les formules employées conduiront alors pour C et c à deux valeurs comprises entre o° et i8o", et ces valeurs seront précisém^t. celles que donneraient les deux autres formules de Neper. Car ces deux formules
cos - ( « — b)
lang-C= cot-(A + B).
cos - ( n -f- i ) sk.
cos ^ (A 4- B)
7 langi(«4-é),
cos^(A-B)
se déduisent immédiatement des deux analogies restantes, jointes à la relation '
sin B sin h sin A ~ sin«
C'est ce que nous allons prouver. I.a relation « sin B sin h
sin A sinn
revient é '
sinB + sinA sinA-)- sin« sinB— sin A ~ sin A — sinn
on à (27)
tang^(A-t-B) lang^(n-f-A) tang^(A— B) tang^(rt — A)
On lire de celte dernière égalité •
tang - (n 4- A)
col i (A — B) = cot - (A + B),
? tangi(n~A) *
. tang i (A -B)
tang-(/i — A) = tang - (n + A).
* tang ^ ( A + B ) ^
Substituant ces valeurs dans les analogies ^
sin - (n — A )
Ung-C= cot-(A — B), I
* sin^(«4-A) ^
sin - ( A 4- B )
tang- c — tang- {n — b),
sin-î-(A-B) *
4o4 TRKSONOMÉTRIE.
on retrouve évidemment les deux autres, savoir ;
C08 - (fl — é)
tang - C = ^ cot - ( A 4- B ) ,
* COS^ ( fl 4- 6) *
ros - ( A 4- B )
tang - f tang - (fl4-é).
* ^ cosi(A-B) ’
La première et la troisième analogie, jointes à la relation des quatre sinus, forment donc un système équmilent à la seconde et à la quatrième analogie jointes à celte même relation. Supposons qu’on donne a, b, A : on déterminera à l’aide du premier système les valeurs de B, C, r. Si l’on veut alors former un triangle avec les trois éléments a, b, C [ce qui est toujours jxissibic (80)], le second système fera connaître les valeurs correspondantes des éléments restants A, B, c, qui seront précisément les valeurs qui satisfont déjà au premier système.
Il résulte de celte discussion que chaque valeur de B ou de b qui satisfait aux deux conditions posées (sinB on siné positif et moindre que i, tes différences A — B et a — b de même signe) -, correspond nécessairement à un triangle et à un seul formé avec les éléments donnés. Le cinquième et le sixième cas admettront donc une ou rlctLe solutions ou n’en admettront aucune. Ces cas portent le nom de cas dotaeux.
82. Pour ne rien laisser de côté relativement aux cas douteux, nous indiquerons encore une méthode de résolution plus simple, qui nous donnera d’ailleurs l’occasion d’appuyer sur la marche à suivre pour rendre calculables par logarithmes les formules de la trigonométrie sphérique, et qui nous permettra d'interpréter géométriquement les transformations employées.
CinquiIImB cas. On donne a. b, A, on veut calculer B, C, c.
On a
. ,, sinèsinA
Le coté c et l’angle C seront donnés par les formules (64, 67 )
cosn = cosA cosc 4- sinésinccosA, sinécolfl = cosf>cosC4-sinCcolA.
Pour arriver à des valeurs de c et do C calculables par logarithmes, nous emploierons deux angles a\ixiliaires y et -if.
Posons «
• tangy= langécosA.
Il viendra
d'où
cosn = cosè(cosc-f-sinc langiy)
cosè cos( c — y ) co s y
cos ( c — y ) =
cosfl cos y cos b
Cette relation fera connaître r — y et, par suite, r.
TRir.ONOMÉTRIE.
Posons de même
tang^{< :
*cot A C08 i’
il viendra d'où
sin ù cot« = cos ê cosC + sin C cos b lang ,
cos ( C — + )
tangù cota = cosC-f- sinC tang4> =
c’est-à-diro
cos (C — ■>|<) = langé cola coS'!'.
Celle relalion fera connatlro C — •{/ el, par suilc, C.
Lorsque le problème sera possible, la valeur de sin B lombcra enlre O el I, les valeurs de cos (c — y) el de cos(C — •{<) lomberonl enlre -f- i el — I.
’ On calculera d’abord les angles auxiliaires y el qu’on supposera compris enlre o“ el i8o".
Les tables donneronl alors pour B une valeur comprise entre o" elgo"; puis, pour c — Ÿ et C — des valeurs / et L comprises entre o° et 1 8o“. Mais on satisfera aussi aux équations précédentes en remplaçant B par 1 8o" — B, et en prenant — / et — L à la place de l el de L. En effet, les sinus de deux arcs supplémentaires sont égaux et de même signe, les cosinus de deux arcs égaux et de signes contraires sont égaux et de même signe. Pour terminer, il faut montrer de quelle manière les doubles valeurs doivent être assemblées.
On a (67)
sine coté = cos c cos A -I- sin A cotB,
d’où
sine coté = cosA (cosc -I- langA colB).
De lang? = langé cos A, on déduit
cosA *
coté =
et, par suite.
smc
tang?
Ung?
= cosc -l-tangA cotB;
c’est-à-dire, en remplaçant tang? par — - et en faisant passer cosc dans le premier membre, *
sin (c — ?) tangA sin? ~ tangB*
On a de même (65) 4
cosB = — cosA cosC sin A sinC cosé.
cotA
De tang .|< =
on déduit
cosé =
cot A tang>)> ■
d'ou
THlGOMOMÉTRIE.
OU
cosB = r’esl-à-dire
cos ü — — cos A eus C -I- sinC cos A cot ■}
il n ■ f .11 — fosA sin (•■!< — C)
— cos A (cosC — sinCcol-ii)
' SlD'l*
sin (C — -p) cosB' sin | ■“ cos A ’
1^8 signes des deux rapports el sont identiques, puisque
A et B sont compris entre o” et »8o°. Les différences c — ç et C — 'j< seront donc ensemble positives ou négatives. On prendra donc +l avec + L et — / avec — L. On voit, de plus, que A et B sont de même espèce quand on prend les valeurs -|-/et -|-L, et d'espèce différente quand on prend les valeurs — / et — L. '
Il n'y a d’ailleurs de solution possible qu'autant que les valeurs trouvées pour c et C sont moindres que i8o®.
Interprétons gènmciriquement les valeurs des angles auxiliaires q et Soit ABC {fis- 3? ) le triangle considéré. Partageons-le en deux triangles rectangles par l'arc CD abaissé perpendiculairement du sommet C sur le côté opposé AB.
Il est évident que la perpendiculaire CD tombera en dedans ou en dehors du triangle, suivant que les angles A et B seront de même espèee ou à'espèee differente ; car les deux triangles rectangles DCA, DCB, exigent que la perpendiculaire CD soit à ta jois de même espèce que les angles CAD et B qui , ^ lui sont opposés dans ces triangles (69).
^ Supposons le point D entre les points A. et B. On aura,' dans le triangle xccéngle DCA,
langAD = tangé cosA et cosô = cotACDcotA.
La dernière relation revenant à
tang ACD =
cot A cos b’
on voit que l'^rc AD représente précisément l'arc ? Cl que l'angle ACD représente l'angle auxiliaire ')>. L'arc BD est alors r — y, et l'angle BCD
Supposons le point D à gauche du point A, le triangle rectangle DCA donnera v
tang AD = langé cos (iSo"— A),
ce qii) revient a ce qui revient à
tang(— AD) = tangécosA; cosé = col. ACD. cot (i8o" — A),
, , col A
'«ng(- A(.|)) = ^.
Oigilized by Goo;
oogli
TRIGONOMÉTRIE
L’an! AD elTangle ACD représentent alors l’arc et l'angle auxiliaire •]« changés de signb. L'arc BD = c-t- AD est donc encore c — y, et l’angle BCD = C + ACD est C -
Ceci posé, on peut ramener la résolution du triangle proposé à celle du triangle rectangle DCB. Si l’on désigne en effet la perpendiculaire CD par X. le triangle rectangle DCA donnera
tangx = tangicosAQD.
On connaîtra donc dans le triangle DCB un côté CD et l’hypoténuse CB. On pourra par suite, à l’aide des formules démontrées p>récédemment( 71), calculer l’angle B, le côté BD = c — y et l’angle BCD = C — Ayant trouvé d’abord y et -l-, les éléments B, C et c, du triangle ABC seront complélement déterminés. ,
Sixième cas. On pourrait présenter pour le sixième cas une discussion analogue. Nous ne nous y arrêterons pas, puisqu’on peut, en se senant du triangle supplémentaire, ramener ce cas au précédent.
83. Nous terminerons ce paragraphe en donnant tous les éléments d’un triangle sphérique obtiquangle, ainsi que les logarithmes correspondants.
a = 76“35'36', h =-5o“io'3o", c 4o“o’ lo". log sin a — i ,9880008, log sin ô = i ,8853636, log sin c = i ,8080936. log cos fl = 1 , 3653379, log cos ô = i , 80648 17, log cos c = i , 8843363 . iügtangfl= 0,6337739, log tangé = 0,0788819, log tangc = i ,9338563. A= i3i°^6'i9*,8i, B= 43"i5'i3',66, C = 34“i5'3*,76. log sin A = 1 ,9303747, log sin B = i ,8376379, log sin C = 1 ,75o3664. Ic^— cos A= 1,7193874, log cos B = i ,8693336, log cos C = 1 ,9173860. log— tangA= 0,3108873, logtangB= 1 ,9583o43, logtangC=^i ,833o8o4.
Expressions de l'aire d’on triangle sphériqne.
84. Nous savons que l’aire d’un triangle sphérique est représentée par son excès sphérique, lorsqu’on prend pour unité d’aire le triangle trirectangle qui fait partie do la sphère considérée. Cherchons donc l’expression de cet excès sphérique , d’abord en fonction de deux côtés et de Tangle compris, puis en fonction des trois côtés.
Soient donnés a, t>, C. Nous avons trouvé (79)
tang-« =
sin-i sin '1
sin
sin
sin -.A sin %
sin
si h
TRIGOAOMÉTBIE.
Multiplions ces ^lilés membro à membre, il viendra ,
tang - a tang - « = —
sin
sin- A
sin C COS - A — cosC sin - A 2 2
sin - A
(‘■-îO
sinC col - A — cosC
Par suite, en renversant, on aura
Il •
col-acot-/;+cosC
COt - A =: 7,
•À. sinL
On peut remarquer que, si l’angle C reste constant et si l'on fait varier
les côtés <7 et ô de manière que le produit cot ^ a cot ^ ô demeure fixe ,
la surface du triangle ne changera pas.
Supposons maintenant qu’on connaisse les trois côtés a, b, c. Les formules de Delambre (80) nous donnent
sin -(A4- B) cos-(a — b)
cos-C
co s - c
COS i (A4- B) cosi(fl-)-ô)
On a
On en déduit Par suite.
sin-C
COS -f
co8-(C — A) cos-{a — l>) 2' 2 '
cos-C
COS - c
sini(C — A) C08^(<i4-ô)
sin - C
cos-C
La première relation revient à
cos -fC — A) — cos -C cos-(« — ô) — eosAc 2 2 2 -g
cos-(C — A) 4- cos-C cos-(/i — ô)4-0ûS.4‘c 2 ' 2 2 '
TRIGOnOMÉTRIE.
c*esl-à-dire (27) à
• • [ asm - i
|siniA
aco8^
co s 7 A
ou
*(') Ungii= tang^(/;- 6) Ungi(/>-«).
La seconde relation revient à
sin-C — sin -(C— A) cos ic — cos- (« 4- /^ )
,, a aj a aj '
sin - G 4- sin - ( C — A ) cos i c 4- cos - ( « -f- 6 )
c’est-à-dire (27) à
a sin -/? sin - (p — c )
asm-
ACOS^
asm a
)cos1a
OU
le%\
tangi A
acos-p cos- (p — c) a a
tang
Si l’on multiplie membre à membre les égalités (1) et (a), on arrive à cette formule remarquable
tong i A = y/tang ip tang i (p - n) tang ^ (p - 6) tang i (p - c).
8S. Dans les développements précédents, on a supposé les côtés a, b, c donnés en degrés, minutes et secondes. Si l’on veut avoir leurs valeurs en mètres, on peut, comme nous l’avons déjà dit (63), recourir à la foT;
mule /= ou opérer comme il suit.
Soit R le rayon de la sphère exprimé en mètres ; soit <1* le nombre de secondes du côté a. L’arc d’une seconde sur la sphère donnée aura pour expression en mètres, Rsin 1' (sin i* se confondant avec l’arc de l'dans le cercle de rayon i). Par suite, •l’arc de o* contiendra un nombre dé mètres l qui sera donné par la formule
(i) Æ: Ra'sin 1*.
Si / est connu, on aura inversement
R sin I*
Coci posé, soient S l’aire d’un triangle sphérique exprimée en mètres carrés, A son excès sphérique, R le rayon de la sphère considérée ex-
4iu
TRlGO^O>tÉTRlE.
primé en métrés. On aura (Géom., 276) :
d'ou
JS-
Si l’on exprime A et a* en secondes, le rapport -jj sera égal ,à la Ion-
gueur de l’arc de l'dans le cercle de rayon i.Ou pourra donc remplacer ce rap|)ort par sin i", et il viendra
(a) S=R’.istni*. /.
Si l’on considère la terre comme une sphère où un grand cercle a |K)ur circonférence 40000000*, l’arc d'une seconde sur cette circonfé-
* 1 ruuiAV
rence sera égal à ■ » c*egl-à-dire â - • On j>ourra donc.
dans ce cas, remplacer K sin i* par le rapport
Lorsqu’il s’agira
d'applications géodésiques, les formules (1) et (1) deviendront donc (ié/>) /=o*
