APPLICATIONS

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86. Truuver le volume iFun paraUélipipède oblique en fonction de tes trois arêtes contiguës et des angles qu’elles font entre elles (fig- 38 ).

Kie 38. . . Posons

OL = l, OM = ^ On’=».

Supposons que le sommet O soit le centre d’une sphère ayant pouf rayon l’unité. Les arêtes OL, OM, ON, détermineront par leurs intersections avec cette sphère un triangle sphérique ABC dont les côtés a, b, r, mesureront précisément les angles formés par les arétA OL, OM. ON, considérées deux à deux.

« TniGOHOMÉTHIE.

L’aire du parallélogramme qui a pour côtés X et u est égale à X;* sin AOB = Àfx sin c .

Si I on abaisse du sommet N sur la base la perpendiculaire NH, le triangle rectangle NHO donnera

NU = V sinNOH.

Mais dans le triangle sphérique rectangle CDA, le côté de l’angle droit Cl) mesurera l’angle NOH, et l'on aura (68)

' sinNOH =4nCD = sinô sin A. ^

Par suite, le volume du parallélipipède étant égal au produit de sa base par sa hauteur, on pourra poser, en désignant par V le volume cherché,

V = Xfiv sinô sin c sin A = aXuv siu b sin r sin - A cos - A.

On a d’ailleurs (79) : /

sin - A = - /gLP(P-^8in(/^c) a V sin ô sin

Il viendra donc

V = aXjxv /sin/» sin (;> — a)sin(/^ — A) sin (p—c).

Le plan diagonal LML'M' partage le parallélipipède en deux prismes triangulaires équivalents. Or le tétraèdre OLMN formé sur les trois arêtes X, (x, v, peut être regardé comme ayant pour sommet N et pour base

OLM : est donc le tiers d#prisme ^ ou le sixième du parallélipipède

V, do sorte que sou volume v aura pour expression

'' ~ / sin/» sin (/; — a ) sin (/> — A ) sin ( /^ — c ).