Réduire un angle à Phnriznn {Jlg. 3g

Supposons que, d un point O dans l’espace, on ait dirigé vers deux points Q et R les rayons visuels OQ, OR, et qu’on ait mesuré l’angle QOR.

Il s’agit de calculer l’angle Q'PR', projection de l’angle OOR sur le plan horizontal.

Un a en O un angle trièdro composé de l'angle QOR et des angles QOP, ROP, formés par les rayons visuels OQ, OR, avec la verticale OP. Admettons que le sommet O soit le centre d’utic sphère ayant pour rayon l’unité. L’angle trièdre déterminera sur cette sphère un triangle sphérique ABC dont les côtés mesureront les faces de l'angle trièdre, et dont les angles seront égaux aux angles dièdres du trièrlrc. L’angle dièdre OP ou l’angle C du triangle

Fig; 3g.

cos - A %

sin^sin(7> — «)

sin 6 sine

4la TRIOUMOMÉTHIE.,

sphérique étant mesuré par l'angle Q'PR', la question est ramenée à résoudre le triangle ABC dans lequel on ronnatt les trois côtés.

On dirigera le calcul, comme il a été indiqué (79), de manière à obtenir immédiatement l’angle C, seul élément qu’on veuille déterminer; c’est-à-dire qu’on emploiera la formule

tang i c = 4 /sin (;.-«) sin(^-/>) ■

”2 Y sin sin (/> — c )

88. Trouver la distance de deux points de la surface terrestre, connaissant leurs Jongiturles et leurs latitiiJI^ {fiS- 4° )•

Soient PP’ l’axe polaire et EE' l’équateur; soient A et B les deux points dont on veut mesurer la distance sur la surface de la terre. Supposons que PLP' soit le grand cercle ou le méridien à partir duquel on est convenu de compter les longitudes. La longitude du point A sera l’angle dièdre du méridien qui lui correspond, |vec le méridien PLP'. Cet angle sera évidemment mesuré par l'arc LC intercepté sur l’équateur par les deux méridiens. De même, la longitude du point B sera mesurée par l’arc LD. La longitude est orientale ou occidentale,' c'e&l-k-A\re positive ou négative, suivant que le point considéré est à Pest ou à Poiu-st du méridien choisi pour origine.

Quant à la latitude du point A, c’est l’angle AOC formé par le rayon OA (verticale du point A) avec l’équateur : cet angle est mesuré par l’arc AC qui va du point A à l'équateur, sur le méridien PAP'. De même, la latitude du point B sera mesurée par l’arc BS( La latitude est banale ou australe, c’est-à-dire positive ou négative, suivant que le point considéré est situé dans l’hémisphère boréal ou austral.

Ceci posé, dans le triangle sphérique APB, ou. connaîtra l’angle P mesuré par l’arc CD, différence des deux longitudes données, et les deux côtés P.\ et PB qui comprennent cet angle, puisque ces deux côtés sont les compléments des latitudes données. On rentrera donc ainsi dans le troisième cas de la résolution des triangles sphériques obliquangles.

D’une manière générale, l’angle P est la différence ou la somme arithmétique des longitudes données, suivant qu’elles sont ou non de même e.spèce ou de même signe. De même, chacun des côtés PA et PB est égal à 90° diminués ou augmentés de la latitude du point correspondant, suivant que ce point est situé sur l’hémisphère boréal ou sur l’hémisphère austral.

Proposons-nous , comme exercice , de calctder la distance de Paris à Rome.

Fig. 4o.

La longitude de Paris est o",

celle de Rome 10“ 6' 4?’, 2 = L'.

la latitude de Paris est 48° 5o'49' = 7.,

celle de Rome 4i° 53' Sa' = V.

Nous ne cherchons que le troisième côté du triangle. En nous re|>orUnL

TRIGOMOMÉTHIE.

à la /igiirr 3g et au n" 80, les formules à employer seront

taug?

cosp =

= tangfl cosP, cos a cos ( 6 — y ) cos y

Calcul de y.

logUnga = logtang(go“ — V) =0,0471310 log cos P = logcos L' = T,gg3igg4

' log taugy = o,o4o3-3o4 y = 47°39'3i*,a

Calcul de p.

log COS a = log cos ( 90“ — X') = 7,8346488 logcos(i- y) =logcos(go‘>-X-y) = T, 9971969

Lcosy = 0, 1716097

log co&p = 1 ,9934554 ^p = 9“55'i8",9

Si l’on veut avoir en mètres la longueur de p, on aura recours à la formule du n“ 8S :

Si l'on veut avoir cette longueur en kilomètres, la formule sera

im-p" .22-

Ctdcul de l.

log//= log 357 18, 9= 4,5528981

log 10 =,1^0000000 L . 324 = 3,48g455o

log / = 3, 042353 1 l - - I 102,4-

Ainsi, la distance de Paris à Rome est d’environ 1 102*“ ou d’environ 275 lieues métriques.

QUESTIONS PROPOSÉES

i” Résoudre un triangle sphérique avec les données suivantes :

cétéa= 2o°35'22*,7, côté /»= 65“ 4g' 35’, 3, angle .4 (opposé au côté a) = 22“ 4o' i5’,5.

On déterminera l’erreur de l’angle B, on supposant que les données soient en erreur d’un dixième de seconde (Concours de f Ecole Polrtechnique).

4l4 TBIGOHOMÉTRIE.

■j.° Dans un triangle spliérique ABC, on donné

et l’on demande do calculer le côté c ( Concours de l'École Polytechnique ). 3° Dans un triangle sphérique équilatéral , on a

cos A

tang i a tang a

On déduit facilement de cette formule la valeur de l’angle dièdre d'un tétraèdre régulier.

4° Dans un triangle sphérique isocèle, on a les relations suivantes :

sin - fl = sin é sin - A , a a

cosé= cotB cot-A,

tang - fl = tang é cos B ,

COS- A = cos-flSinB.

5° Chercher la valeur de l'angle dièdre : i° de l’octaèdre régulier; a° de l'icosaèdre régulier; 3° du dodécaèdre régulier.