PROPOSITION^ SCR LES NOMBRES

L Nous avons pour but, dans ce chapitre, do compléter la connais» sanco des principes les plus élémentaires de la théorie des nombres, à l’exposition desquels nous avons déjà consacré le livre deuxième de \’jirithmëtique ( t. I ). Nous commencerons par revenir rapidement sur quelques théorèmes déjà connus et relatifs aux diviseurs.

Des ditriaenrs des nombres.

2. Soit un nombre N dont la décomposition en facteurs premiers donne

N = . Nous savons qu’on obtiendra les diviseurs de ce nombre

en combinant entre eux ses facteurs premiers de toutes les manières possibles. 11 suit de là que ces diviseurs seront précisément les différents termes du produit

Il est évident d’ailleurs que les termes de ce produit ne pouvant éprouver aucune réduction, le nombre des diviseurs de N sera, en comptant N- et Traité,

Le produit indiqué représente la so'mme de tous les diviseurs. Celte somme est donc égale à [Alg- élém., 38)

(*) Ce premier Lirre doit être regardé comme le complément de l'Algèbre élémentaire ( tome I ). Plusieurs des théories qu’il renferme ^ bien que ne faisant plus partie des programmes d’admission, présentent de l'importance et de l'in* terèt. C'est à ce titre que nous recommandons aux élèves studieux la lecture dos chapitres c|ui traitent des fractions continues et de l’analyse indéterminée du premier degré.

4l6 * COMPLÉMENT o'aLGÈBRE.

On voit ftdlement que, suivant que N est ou n’est pas carré parfait, le nombre de scs diviseurs est impair ou pair. Car, si N est un carré, tous les exposants, a, p, y, sont pairs; et si N n’est pas un carré, il faut que l’un au moins des exposants a, p, 7, soit impair.

Si l'on veut décomposer N en deux facteurs, on peut prendre chaque diviseur pour l’un des facteurs; mais c’est alors un autre diviseur qui est le second facteur. Les diviseurs se correspondant ainsi deux à deux, le nombre des décompositions possibles est égal à la moitié du nombre des diviseurs dans le cas où ce nombre est pair. Mais, lorsque ce nombre est impair, c’est-à-dire quand N est carré parfait, la racine carrée de N est un diviseur de N et se correspond à elle-même. Le nombre des décompositions est alors égal i la moitié du nombre des diviseurs augmenté de I.

On peut imposer la condition que les doux facteurs employés soient premiers entre eux. Dans ce cas, les exposants ne jouent plus aucun rôle,

et la réponse pour N = doit être la même que pour N = abc.

D’après ce qui précède, le nombre des décompositions possible serait

i(i-|-i)(i-t-i)(i-t-i); mais il faut remarquer qu’il y a exclusion pour

la combinaison i x N ; ce qui réduit le nombre cherché d’une unité. D'une manière générale, en désignant par m le nombre des facteurs premiers différents qui entrent dans N, le nombre demandé sera donc

3. On peut demander quelle est la plus haute puissance d’un nombre premier p, contenue dans le produit i.a.3.4.5.../i.^

Je divise n par p : soit n' le quotient entier obtenu. Le produit proposé renfermera les facteurs p, ap, 3p,...,/i’p; et, puisque p est premier, ces facteurs seront les seuls du produit divisibles par p. La plus haute puissance demandée sera donc la même que celle qui divise le produit i.a.3.4.5. . . «'p"'.

On répétera le même raisonnement pour le produit 1. a. 3. 4.5. ...»', c’est-à-dire qu’on divisera n' par p ; soit n’ le quotient entier obtenu. La question sera ramenée à chercher la plus haute puissance de p qui divise 1.3. 3. 4. 5.. puisque la plus haute puissance cherchée sera la même que celle qui divise le produit i.a.3.4.5...n”. p"''’^’.

On voit, sans qu’il soit besoin d’insister, la marche à suivre. On divisera successivement par p, n et les. différents quotients entiers obtenus, jusqu’à ce qu’on en trouve un inférieur à p. La somme de tous les quotients obtenus, y compris le dernier, sera l’exposant dont p doit être affecté.

Il résulte de ce qu’on vient de dire que l’expression

i.a.3...nxi.a.3.../)X i.a.3...i;r

est toujours un nombre entier, si la condition

est remplie.

K. Si p est un nombre premier par rapport à a, et si t on divise par p

CUMPLÉMIiNT u'al<;èdhe. 4' 7

les multiples successifs «, iu, 3«,. . — i)^/, tous les restes obtenus seront différents.

Aucun reste ne pourra évidemment être o. Ceci posé, admettons que deux multiples ka, k'a, conduisent au même reste r. En désignant par y et q' les quotients entiers correspondants, on aurait

ku — qp + r, k'a = q'p + r,

d’où

P étant premier avec a, devrait alors diviser la différence k' — k dont les deux termes sont ipféricurs à p, ce qui est absurde.

. Si l’on divise les multiples suivants /w, [p-\- i)a, (p + i)a,..., la première division donnera un reste nul, et les autres conduiront aux restes déjà obtenu^, en divisant a, aa, 3a,... par p. Les restes considérés forment donc 'une série périodique, et Lun de ces restes est égal à i .

5. Théorème de Fermât. Si p, tmmbre premier, ne divise pas a, p divise cf~' — I .

Si l'on divise par p les multiples successifs a, aa, 3a,.. ., (p— i)a, on obtient des restes tous différents (4), c'est-à-dire, dans un certain ordre, les restes i,a, 3,. . . , — i). Si l’on multiplie membre à mem-

bre toutes les égalités représentatives des divisions effectuées, on aura évidemment (Arithm., 84) :

, a.aa.3a.. . (p — i)a = mult. />-|- i .a.3. . . [p — i),

c’est-à-dire