I .a.3 . . . (/J— i) (a'"' — i) = mult. /J

p étant un nombre premier, doit forcément diviser. le facteur a'*' — i.

G. Si p était seulement premier avec a, on ne considérerait que les multiples de a moindres que pa et premiers avec p. Dans ce cas. Tes restes obtenus, tous différents (4), sont aussi premiers avec p\ car l'égalité

ka — qp-lrr ^

prouve que si p n’était pas premier avec r, il ne le serait pas avec / a, c’est-à-dire avec a.

En multipliant encore membre à membre toutes les égalités trouvées, et en désignant par R le produit de tous les restes et par « le nombre des multiples de a employés, on aura

Ra'.= mult. /) -t- R ;

car les restes r sont tous les nombres plus petits que p et premiers avec lui, et il en est de même des multiplicateurs de a, de sorte que le produit des restes et celui des multiplicateurs doivent être identiques. Il viendra donc

R ( a* — 1 ) = mult. p ;

ce qui montre que, lorsque p est seulement premier avec a sans être premier absolu, il divise a' — t, v étant le nombre des entiers jnoindres que p et premiers avec lui.

Lorsque p est pmmier, on a e = /j — i, et l’on retomlw sur le lliéorèmo de Fermât.

4l8 COMPLÉMENT u'aLGÉBHE.

Réciproquement, si ' est la plus faible puissance de a qui, divisée par p, donne pour reste i, est nécessairement premier, puisqu’il n'est divisible par aucun des entiers plus petits que lui.

Enfin, si p n'est pas premier avec n, il n’existe aucune puissance do a qui, divisée par /s, donne i pour reste; car l’égalité a*= mult. /9+ i est alors impossible.

7. Revenons au cas où p est premier avec a. Soit et' la plus faible puissance de et qui, divisée par p, donne pour reste i. Toutes les puissances i/ifcrieures, divisées par p, donneront des restes différents. Supposons en effet qu’on ait »i’> m, />> m', et qu’on puisse écrire

o“=mult./3 + r, a"' = rnult./^ 4-r,

on aurait

a"' — et' = et' [ei'’~'' — i ) ^ mult. p. .

p devrait alors diviser — i, ce qui est impossible, puisque •>'> m' est, par hypothèse, l’exposant de la plus faible puissance de a à laquelle corres[)onde le reste i .

Il est clair que, le diviseur étant toujours p, et''^' donne le mémo reste que a, ef*^ le même reste que a’, .... En d’autres termes, la série des restes est périoeiiqüe.

En se reportant à ce qui précède (6), on peut ajouter que, puisque et donne i pour reste comme et" , v est en général un multiple de e'.

8. TnÉORÈHK DE Wilson. Si p est un nombre premier, ta soqtme \ .9..Z. ..(p — l) -t- I rst elivisiblf peir p.

Je considère la suite

Je prends un nombre quelconque et dans cette suite, et j’en forme les multiples^ ,

• fl, 2fl, 3a,..., (p — i)a.

Si l’on divise ces multiples par p, tous les restes obtenus seront différ rents, et l’un d’eux sera égal à i (4). Supposons qu’on ait

X a = mult./> -1- I.

En général, X et a seront différeras. Si l’on suppose X = a, il vient

fl’=mult. ! ou (fl-t-i)(fl— i) = mult. />.

p, plus grand que a, doit donc diviser a + i ou a — i, c’est-à-dire qu’on aura a — i = o pu a = i , ou bien a4-i=/>ou a = />— i.

Maintenant, pour totue ttture valeur de a, on aura une valeur correspondante et inégale de X, qui satisfera à la relation

Xa =r mull./j-t- I. .

Mais si l’on substitue à a [qui est un terme quelconque de la série 2 . 3 . 4 . . . ( ’ a), puisque nous écartons les valeurs i et ( — i ) ] celte

valeur de X, a prendra nécessairement la place du multiplicateur X. Il en résulte que les termes -de la suite 2.3.4. ..(/j — a) peuvent être réunis deiLt il eleux, de manière que les produits obtenus, divisés par p, donnent I pour n-sle. En multipliant membre à membre toutes les égalités

Digiîi^t' J

> COMPLÉMKNT d’aLGÈBHE.

représentatives de ces divisions, on arrivera donc linalement à 2 . 3 . 4 — 2 ) = mult. P + \ .

Si l'on multiplie les deux membres de celte dernière égalité par p — \ , il vient

a.3.4...(/>— i) = mult./>— I ou i .2.3.4. . — + 1 = mult./?.

Si P n’était pas premier, ses diviseurs se retrouveraient nécessairement dans la suite i.2.3...(/> — i), et ne pourraient diviser celte même suite augmentée de i. Il en serait donc de même de p.

Caractères de divisibilité.

9. Soit N un nombre entier écrit dans le système dont la base est a. Partageons ce nombre en tranches de m chiflres à partir de la droite et en remontant vers la gauche, de sorte que la dernière tranche à gauche pourra avoir moins de m chiffres. Désignons par A, B, C, D,... les valeurs absolues des tranches obtenues. On pourra évidemment écrire N des trois manières suivantes ;

N = «" [ . . .4- Da»"-t- Cn" 4- B] + A,

N = . . .-4“ D — I ) -f~ C {a^ — i) 4“ B (rè" — i) 4- [.A -4" B 4-C 4* D 4”. * . J ,

N = .,.4-ü{n“4-i)4C(a”*-i)4-B(fl”4-i)

L’examen de ces différentes formes conduit à trois théorèmes généraux dont nous n’avons vu que des applications particulières en Arithmétique, et que nous allons énoncer successivement.

10. Premièbb forme. Tout diviseur de oT divise un multiple de oT. Donc, pour qu'un nombre soit divisible par un diviseur quelconque de la

puissance de la base du système de numération adopté, il faut et il suffit que la dernière tranche de m chiffres sur la droite admette ce diviseur.

Deuxième forme. On sait d’une manière générale que cT‘— i est divisible par d" — i, X étant un entier positif quelconque [^élg. clém., 38, 5°). Par suite, pour qd un nombre soit divisible par un diviseur de la puissance de la hase, diminuée de i , il faut et il suffit que la somme des nombres obtenus en partageant le nombre proposé en tranches de m chiffres, admette ce diviseur.

Troisième forme. Enfin, o~4-i est divisible par/i"4-i quand x est impair; cT* — i est divisible par fl“4- 1 quand x est pair (Alg. élém., 38, 5°). Donc, pour qu'un nombre soit divisible par un diviseur de la mf^ puissance de la base, augmentée de 1, il faut et il suffit, ce nombre ayant été partagé, comme notu Pavont dit, en tranches de m chiffres, que t excès de la somme des tranches de rang impair sur la somme des tranches de rang pair, admette le diviseur considéré.

11. Pour les nombres premiers avec la base, il faudra chercher quelle est la plus petite puissance de cette base qui conduit au reste 1 (7).

Si l’on opère dans le système décimal, on trouvera, par exemple, que

4^0 CUMPLÉMEM' u'alcÊBRE. ,

quo lo’, divisé (>ar ii, donno [tour roslu i, ut l'on en déduira une nouvelle marche pour arriver au reste d’une division par ii. Cette marche consistera à partager le nombre donné en tranches de deux chiffres, et à voir si la nomme de ces tranches (à laquelle on pourra faire subir la même décomposition) est divisible par ii.

On pourra employer une méthode analogue relativement aux diviseurs 7, i3, 37; mais il n’y a ici d’important à remarquer quo la loi générale.