PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ALGÉBRIQUE

ii. Une quantité entière est une quantité qui ne renferme ni dénominateurs, ni radicaux.

Une quantité première est, en algèbre comme en arithmétique, une quantité qui n’est divisible que par elle-même et par l’unité.

Doux quantités sont premières entre elles, lorsqu’elles n'admettent d’autre diviseur commun que l'unité.

Une quantité entière qui n’est pas première, est un produit de facteurs premiers.

Toute la théorie des quantités premières algébriquement repose sur la proi>osition suivante, qui a été établie pour la première fois par M. Lefébure de Fourry { voir ses Leçons (T Algèbre).

13. Toute (piantitè première P (jui divise le produit de deux quantités entiè-res A et B, doit diviser f une (Pelles.

Nous supposerons d’abord que les quantités données ne contiennent pas plus d’une lettre.

1“ A est fonction de la lettre principale x, B rt P sont des nombres.

Je dis que si P qui divise AB ne divise pas B, il divisera A. Soit A = axf'-ybxl'-y a, b,..., sont des nombres entiers positifs ou né-

gatifs; n,.. . , sont entiers et positifs. On aura

AB = Bfl.r" -I- Bix" -I- . . . .

P (h'vra diviser le second membre de celte égalité et, par suite, tous les coefficients B/?, hb, . .. [Alg. élém., ’iH.Nota). Si P est premier avecB, il divisera donc chacun des coefficients n, b,..., c'est-à-dire il divisera A.

2" A et B sont fonctions de x, P est un nombre.

.Admellons pour un instant que P divisant AB, ne divise ni A ni B. Soient A' l’ensemble des termes de A dont les coefficients sont multiples de P, et A' l’ensemble des autres termes. Décomposons de même B en deux [larties B' cl B". On aura

AB = ( A’ 4- A") ( B' -f- U”) = A’B’ + A"B' + A-B' -f- A'B'.

Les trous premières parties du second membre étant divisibles par P, la quatrième A'B" doit l’être. Beprésentons par «j* et bx^ les termes de

COMPLÉMENT d'aLCÈBRE. ^21

A* el de B" du degré le plus élevé par rapport à x. Le premier terme du

produit A’B’ sera nécessairement P devrait donc diviser «i;

mais P ne divisant par hypothèse aucun des coefficients des termes qui composent A' et B", est premier avec a et avec h el, par suite, avec ab. Donc, si P ne divise ni A ni B, il ne peut pas diviser AB.

3° A et P sont fonctions de x, B est un nombre.

Si P divise AB, soit Q le quotient entier de cette division. On aura