AB = PQ

Décomposons le nombre B en scs facteurs premiers. Les facteurs premiers de B devront diviser lo produit PQ- Or P est une quantité première fonction de x, c’est-à-dire n’est divisible par, aucun nombre. Donc (a“) tous les facteurs premiers de B devront diviser successivement Q el les quotients trouvés en opérant ses divisions. On finira donc par arriver à

A = Py,

en désignant par q le dernier quotient obtenu ; ce qui prouve que, dans lo cas considéré, A est un multiple de P.

4° A, B, P, sont fonctions de x.

P divisant AB, sans diviser A, je dis qu’il divisera B. Si A est d’un degré plus élevé en .r, divisons A par P. Dans lo cas contraire, on diviserait P par A, la suite des raisonnements resterait la mémo. 11 peut arriver qu’avant do parvenir au reste de l'opération, on soit obligé d’employer des coefficients fractionnaires. Désignons par M lo dénominateur commun de tous les termes du quotient Q et du reste B. On pourra écrire

(i) = MA = Pg-|-B.

On peut donc éviter les coefficients fractionnaires, en multipliant d’avance le dividende par M. R no peut pas être nul, car P diviserait alors MA, c’est-à-diro A (3").

Multiplions les deux membres de l’égalité (i) par B, puis divisons-les par P. Il viendra

AB étant divisible par P, RB le sera. Supposons que H ne soit pas un nombre el divisons P par R. Soit M' le multiplicateur à employer pour éviter les coefficients fractionnaires. U viendra

(a) M'P=RQ'+R'.

Le reste R' no pourra pas être nul; sans quoi, P divisible par R (3“) ne serait plus une quantité première. Multiplions par B les deux membresdo l’égalité (a), puis divisons-les iiar P. Il viendra

RB étant divisible par P, R' B le sera.

On poursuivra le calcul de la même manière, en divisant I’ par R'. On obtiendra donc une série de restes R, R', R" dont le degré |>ar rap-

4aa COMPLÉME^T d'algèbre.

porl à X ira toujours en diminuant et dont aucun ne pourra être nul. On paniendra ainsi forcément à un reste numèriqtw r, et le produit rB,

comme tous les produits précédents RB, R'B, R'B sera divisible

par P. Dès lors ( 3”), B sera multiple de P.

14. De même que les démonstrations précédentes s’appuient sur le théorème d'arithmétique correspondant (jirithm., 407), de même les cas où A, B, P, ne renferment qu’une seule lettre, serviront à prouver la proposition générale énoncée, lorsque ces quantités pourront contenir deux lettres au plus. Du cas de deux leIRes on pourra ensuite s’élever au cas de trois lettres, etc. On doit donc regarder comme établi le théorème fondamental qu'on voulait démontrer.

Tous les théorèmes qui découlent en arithmétique du théorème correspondant (108, 109, 110), sont donc vrais algébriquement. En particulier, la décomposition d'une quantité entière en facteurs premiers ne peut avoir Heu que efune scide manière.

Supposons que les produits de facteurs premiers ABCD. . . et ahed. . . soient identiques. On aura

ABCD. . . = abcd . . .

a, facteur premier, devra diviser ABCD. . . Mais A, B, . . . , étant des facteurs premiers, si a n’est^égal à aucun d’entre eux, la division ne sera pas possible. En effet, a ne divisant ni A ni B, ne pourra pas diviser AB; ne divisant ni AB ni C, il ne pourra pas diviser ABC, etc. On voit que la démonstration est identique à celle donnée en Arithmétique (113).

15. Nous avons déjà dit [,dlg. étèm., 40) que, pour réduire un rapport algébrique à sa plus simple expression, il fallait rendre ses deux termes premiers entre eux. Pour y arriver, lors<pie les termes du rapport sont des polynômes, il faut exécuter une série d’opérations analogues à celles qui conduisent au plus grand commun diviseur de deux nombres.

Nous considérerons les termes du rapport proposé -g- comme des polynômes entiers et rationnels, et nous dirons que le plus grand commun diviseur des deux polynômes A et B est une expression qui les divise exactement tous les deux, de manière que les quotients obtenus soient premiers entre eux; ce qui revient à définir ce plus grand commun diviseur : le pnuliùt de tous les facteurs premiers communs aux deux polynômes, ces facteurs pouvant être numériques, monômes ou polynômes.

IC. Si B divise exactement A, B sera le plus grand commun diviseur cherche.

Si B ne divise pas A, le plus grand rommiin diviseur entre A et B sera le même que celui qui existe entre B et R, reste delà division effectuée.

Soient