A= BO + R

et D un diviMMuquelconque de .A et de B. On aura A =- MD el B = ND.

Il \lendra donc

COMFLÉMENT U ALGÈDHE. 4?3

égaliUS qui exige que R soit de la forme PD; d’où ^

M = NQ+P.

Si D est maintenant le plus grand rommun diviseur cherché, M et N seront premiers entre eux; il faudra donc que les quotients N et P soient aussi premiers entre eux. Et dès lors, le plus grand commun diviseur entre A et B sera le même qu’entre B et R (15).

17. On peut, sans changer le plus grand commun diviseur entre A et B, multiplier ou diviser A, par exemple, par une quantité entière quelconque, pourvu que cette qiuintité soit première avec B. En effet, op no modifie |>as ainsi les facteurs premiers communs à A et à B, qui seuls cdm- (H)scnt le plus grand commun diviseur cherché. C'est en s'appuyant sur cette rcmarqu» qu’on pourra éviter, dans le courant des o|^ratiuns à effectuer, les coefÊcients fractionnaires ; condition essentielle pour l’exactitude du raisonnement présenté au n” 16.

18. Exposons à présent la recherche pratique du plus grand commun diviseur.

Soit à réduire à sa plus simple expression la fraction

— 17J’ -I- 8x-+- 4 lox* — 1 1 X* -t- ax“ -I- 7X,— -1

Nous chercherons d’ahord si les polynémes proposés qui ne contiennent qu’«/ic lettre admettent un plus grand commun diviseur monéme. S’il en est ainsi, on les divisera par ce plus grand commun diviseur, cl l’on mettra à part le facteur supprimé pour le joindre, à la fin do l’opération, au plus grand commun diviseur polynôme. Dans l’exemple propo^, il n’existe pas do plus grand commun diviseur monôme, et nous appliquerons immédiatement la méthode indiquée (16) en divisant le dénominateur de la fraction par son numérateur.

' PSEMIÈRE DIVISION.

iox‘ — Iix’-J- ax’+ 7.T— a I i4j^ — I7J^’-I- 8x-+-4 70X' — 77jJ-(- i4x’-t- 49X— 14 I 5x -t-4 -+-85x’— 4ox’ — aox

+ 8xr‘ — a6x’-t- agx — i4

56x* — i8ax^-f-ao3x — 98 < ’

• -f' 68x* — 3ax — 16

— ax*-t- 3x— a !