THÉORIE DES FRACTIONS CONTINUES

Définitions. .

23. S’il s’agit do trouver une valeur approchée d’un nombre N, le plus simple sera d’indiquer sa partie entière a. On pourra alors écrire, en Sup;posant y plus grand que i ,

Qn pourra évaluer la partie entière ô de 7 et poser

en supposant z plus grand que i. On pourra de même, e étant la partie entière de z et u étant une quantité plus grande que i , poser

d étant la partie entière de « cl c représentant une quantité plus grande

quo I , on aura

COMPLÉMENT d'aLOEBRE,

En remplaçant, dans l’expression do N, y, z, h, par leurs valeurs, il viendra

et l’on pourra continuer ainsi jusqu’à ce que l’un des nombres y, s, II, i>, . . . , se trouve entier. On dira alors qu’on a obtenu le développement exact de N en fraction continue.

Si l’opération indiquée se poursuit sans amener aucun résultat entier, l’égalité (i) reste toujours exacte. Mais si l’on néglige l’une des fractions

successivement obtenues, - t cette égalité devient a/w/t»xi-

niatice, et l’on obtient pour N une série de valeurs approchées qu'on appelle des réduites. Les nombres b, c,d,. . ., qui sont les parties entières des dénominateurs successifs /, z, u,..., sont des quotients incomplets, tandis que ces dénominateurs y, z,u,. . ., sont des quotients complets. On

dit encore que les fractions ^

sont des fractions intégrantes.

24. Tout nombre, contmensurable correspond h une fraction continue limitée, toute fraction continue limitée représente un nombre commensiirable.

Soit un nombre commensurablo Je divise A par B : soient a le quotient et r le reste. On aura

Je divise B par r : soient b le quotient et r' le reste. On aura

On sera donc conduit a diviser r par r', et l’on voit sans peine que les opérations à effectuer sont préci.sément celles qu’on doit faire pour chercher le plus grand commun diviseur des nombres entiers A et B. Par suite, on arrivera à un reste nul, c’est-à-dire que le nombre des termes de la fraction continue cherchée est nécessairement limité.

Les quotients fournis par l’opération du plus grand commun diviseur sont les différents quotients incomplets b, c, d,..., et les fractions intégrantes sont alors les inverses de ces quotients ou

l.a réciproque do cette proposition est évidente. Par conséquent, tout

COMPLÉMERT d’àLGÈBEE. 4^7

nombre incommensurable donne lieu à une fraction continue indéfiniment prolongée. Nous en verrons plus loin un exemple.

S.’S. Les réduites sont alternativement plus petites et plus grandes que la fraction continue : les réduites de rang impair sont moindres, les réduites de rang pair sont plus grandes. ^

La première réduite est a et, comme oa néglige la partie fractionnaire elle est moindre que N. La seconde réduite est a + et comme

b est moindre que y, j l’emporte sur j , c’est-i-dire que la seconde réduite

est plus grande que N. La troisième réduite est <j -I ! — i et comme -

est plus grand que ^ ^ est plus grand que/, et la troisième réduite

est moindre que N. Le même raisonnement se poursuit indéfiniment.

H en résulte que chaque réduite est comprise entre les deux précédentes. En effet, une réduite quelconque représente elle-même une fraction continue dont la valeur, d’après ce qu’on vient de dire, tombe entre deux réduites précédentes consécutives. ;

Par conséquent, si l’on s’arrête à une réduite de rang pair, comme elle est plus grande que la réduite précédente de rang impair, elle est plus petite que la réduite précédente de rang pair. Donc, les réduites de rang pair vont en diminuant. Si l’on s’arrête à une réduite de rang impair, comme elle est plus petite que la réduite précédente de rang pair, elle est plus grande que la réduite précédente de rang impair. Donc, les réduites de rang impair vont en augmentant. Et alors, à mesure qu’on avance, l’intervalle entre deux réduites consécutives allant se resserrant, on approche de plus en plus de la valeur de la fraction continue.

Loi de formation des rédnites.