Soit

rf-l-....

Un a, (lour les quatre premières réduites.

rt = -1

1 ah K

I abc -I- c -f- «

I éc -4- I

ahrd -f- ed -)- ad -I- nb i ind-ydyb

COMPLÉMENT d'aLgLbRE.

On voit que, pour ces quatre réduites, la troisième et la quatrième s’obtiennent en multipliant les deux termes de la réduite précédente par le quotient incomplet auquel on s’arrête, et en ajoutant terme à terme le résultat obtenu et la réduite qui précède de deux rangs. Il faut faire voir que cette loi est générale.

Soient trois réduites consécutives ^ ^ lesquelles la loi se

trouve vériGée. Soit /le dernier quotient incomplet employé. On aura, par hypothèse, ■

' Mais si l’on avait voulu passer immédiatement de la réduite ^ à la réduite S R

^ qui suit la réduite.^,, il aurait fallu, m étant le quotient incom- O K

plot qui vient après /, remplacer dans le calcul qui donne / par

/ + — • On aura donc m

c’est-à-dire

iQl+P)», + Q

R WJ -I- Q ' R'w-4-0'’

résultat conforme à la loi supposée.

27. Remarque. On peut remplacer m par le quotient complot correspondant que nous désignerons par / ; et l’on obtiendra alors cette expression de la valeur de la fraction continue

Propriétés des réduites.

28. La (UJfércnce de deux réduites consécutives est représentée /mr une fraction dont le numérateur est l'unité, et le dénominateur, le produit des dénominateurs des réduites considérées.

Soient toujours p> —, trois réduites consécutives, et

On aura

Q P QP'PQ'

on même tem[)S que