Les réduites sont des fractions irréductibles

En effet, puisqu’on a d’une manière générale (28)

PQ' - QP'= ± 1,

il ne peut exister entre P et P' aucun facteur commun, non plus qu’entre Q et 0'. Il ne peut môme en exister aucun entre P et Q ou entre P' et Q'.

31 . De deux réduites consécutives, la plus avancée est celle qui approche le plus de la valeur de la fraction continue.

OR

Comparons à chacune des réduites ÿD la valeur X de la fraction

COMPLÉMENT d'alGÉBHE.

continue (27)

. Nous aurons

R/ -1-0 0 RQ'<-0R'r

Rr-i-0 R OR' -RO'

R'/ 4-0' R' “ R'(Tl'/ 4-0 )

Mais on a (28

rO'-OR’ = ±'. 0R'-R0' = »,

d’où

0' ~ 0'(R'^4-0')' R' R'(R’r-hO')

Les deux résultats obtenus sont de sif^es contraires, et t étant au moins égal à i en mémo temps que Q' est < R', le premier résultat est

le plus grand en valeur absolue. ^ approche donc plus de X que ^ .

32. Il est bon de remarquer que, le quotient complet t étant compris entre m et m + 1 , puisque m dernier quotient incomplet considéré , représente la partie entière de r; on a en valeur absolue

et

' R'^ R'(R'm + R -1-ü') R' ^ R'IR' + S ) '

ce qui donne deux limites simples de l’erreur commise* en remplaçant la fraction continue par une de ses réduites.

33. Un nombre K ne peut approcher plus qu’une réduite — de la va-

leur X de ta fraction continue, sans être compris entre cette réduite et la réduite précédente

En effet, K devra à plus forte raison approcher plus que ^ ( 31 ) de la

valeur de la fraction, cl dès lors, puisque X tombe entre et ^ (28), il faudra que K tombe entre ces mômes réduites.

34. Une réduite quelconque approche plus de la fraction continue que toute autre fraction dont les termes seraient plia simples.

Soit g une fraction qui approche plus de X que la réduite jp* Il fau-