G OR

dra, d'après ce qu'on vient de dire, que p tombe entre ^ et La dif-

férence ÿ — ^ doit donc être moindre en valeur absolue que la diffê-

COMPLÉMENT d'aLGÈBUE.

Mais on a

C ' 0 CQ' - DQ R 0 ± I

D 0“ ÜQ' “ R' 0'~Q'R'‘

Et comme la première différence a un numérateur au moins égal à i , elle ne peut être la plus petite que si le dénominateur D l'emporte sur R'. Il' reste à prouver que C doit être aussi plus grand que R.

Puisque g est compris entre gi ^ ’ g

sera entre -f- et ^ • On a

D 0' DO - CQ' .R’ 0' 1

C Q " cy R y ~ RO ■

La première expression ne peut donc être moindre que la seconde, que si C est supérieur à R.

Cette dernière propriété met dans tout son jour l’avantage que présente la réduction des nombres en fraction continue. Des réduites consécutives donnent une série do valeurs, de plus en plus approchées, qui, eu égard au degré d’approximation obtenu, sont exprimées le plus simplement possible.

Applications.

35. 1“ Remplacer par des fractions approchées aussi simples que possible.

En appliquant le procédé indiqué (24), on trouve

i3ga 3Si4 '

Les réduites successives sont

On peut remarquer, et c’est une conséquence de ce qui précède (30), que la dernière réduite donne la valeur de la fraction proposée ramenée

à sa plus simple expression, réduite de rang pair, est plus grande

que la fraction donnée. L'erreur commise en la prenant à la place de

cette fraction est moindre que , ou que 2— • .

43a COMPLÉMENT u’ ALGÈBRE.

36. 2° Trouver des valeurs approchées aussi simples que jjossihle île La partie entière do ^7 est a. On peut donc poser

d’où

Multiplions haut et bas par v/ÿ + a [Alg.élém., 178), il viendra

4/7 tombant entre 2 et 3, 7^ tombe entre i et 2, et l’on peut écrire

On en déduit

>Tt

Z tombe donc aussi entre i et 2, et l’on peut poser

d'où

U tombe encore entre 1 et 2. Je pose

d’où

V tombe entre 4 et 5. On jMjut donc écrire

d'où

t est donc égal à j, et les calculs se reproduiront indéfiniment d’une

Digitu cd by Cooglc

COMPLÉMENT o’ ALGÈBRE.

, manière périodique. On aura

Les réduites successives seront .

Sgo 223 '

Si l’on remplace par jj-i l’erreur commise est moindre que

37^48 etplusgrandeque^—

c’est-à-dire que ^ est une valeur exaefe^^â 0,001 près.

Nous dirons en terminant cct.,é^j^^fepais sans démontrer cette proposition, que Ui racine carfjf^tf^^MÊffSmre entier quelconque non can^ parfait conduit toujours à une fl^mwn' continue périodique. Seulement la période peut commencer plùs OU moins tôt. .

37. 3° Il semble évident que lorsqu’on connaît deux valeurs approchées d’un nombre, l’une par défait, l’autre par excès, si l’on réduit ces valeurs en fraction continue, toutes les parties qui leur seront communes appartiendront nécessairement à l’expression du nombre considéré en fraction continue. Il est facile d’ailleurs de le démontrer comme 41 suit. Supposons que X tombe entre A et B, et qu’on ait •

A et B ayant même partie entière a, cette partie entière sera celle de X qui tombe entre A et B. Posons

Puisque X tombe entre A et B, il faut que x tombe entre y et^-*, et comme / et y ont la même partie entière b, b sera aussi la partie en-

VvV '•

434 COMPLÉMEKT d’alGÈBRE.

tière de x. Posons donc

Z Z Je

On prouvera de même que x' a la même partie entière c que z et z', et en continuant le même raisonnement, on vérifiera que le développement de X commence comme il suit :

Nous pouvons faire applic-ation do ce qui précède h la rrrherrhr tir fractions exprimant le nombre tt (Géom., 13S) aussi simplement que f/ossible, eu égard au degré d'approximation obtenu.

ir est compris entre les deux expressions 3,i4>5g2G et 3,1415927. Ea tes réduisant en' fraction continue, on trouve (38, i“) :

Uonc, on aura nécessairmnent

• jr = 3

Les réduites correspondantes

7 loO ii3 ^

approcheront plus de w que toutes les fractions ayant des termes plus simples.

'igitizcc

COMPLÉMENT I) AI.GÊIIRE.

CHAPITRK IV.

ANALYSE INDÉTERMINÉE Dl' PREMIER DEGRÉ.

38. L’analyse indéterminée du premier degré, t^ui est une partie importante de la Théorie des nombres, a pour but : Èt<wt données m éi/iintions dont les coefficients sont des nombres entiers jmsitifs ou négntifs, entre m-\-n inconnues x,y, z, de ttmA'er les solutions entières de res équntions, c'est-à-dire les systèmes de valeurs entières, positives ou négatives, de x, y, z, ... , qui les vérifient.

Nous commencerons par considérer une seule équation à deux inconnues.

Résolution de l’équation ax 4- by == r en nombres entiers.

39. Soil ax-i-by = c. On peut supprimer tout facteur commun aux coefDcients a, b, c, sans altérer l'équation. Nous admettrons donc que les nombres a, b, c, sont premiers entre eux. Nous admettrons de plus qu’il on est de même des nombres n et é considérés simultanément. Car, si ces nombres admettaient un facteur commun k, les valeurs entières de .x et de .r rendraient le premier membre multiple de k, tandis que le second membre ne peut l'étre d’après notre première hypothèse.

•40. Ceci posé, c’est-à-dire a et b étant premiers entre eux, nous allons prouver que /équation dx ■+■ by::^,^admet néeessairemeni une solution entière. ^

Je suppose le coefficient 1lKxjpqBiâf,vcé qui est permis, et je lire de l'équation ‘ ^ *

On peut toujours effectuer la division de deux nombres entiers, quels que soient leurs signes, de façon que le reste de la division soit positif. Remplaçons auccessivement y, dans la relation (i), par les valeurs

et cherchons les quotients correspondants de manière que le reste soit toujours positif. Je dis qu’on parviendra ainsi à une valeur entière poiir.r, et à une seule. En effet, il est. impossible que deux valeur^ fi, y, appartenant à la série indiquée, conduisent au même reste r. On aurait alors

c — by = aq' -f- e, r — by" = nq’ -4- r. et l’on en déduirait

a, premier avec h, diviserait alors y — .r*; ce qui est impossible, puisqu’on a

Ainsi, tous les restes qu’on obtiendra seront diflérenls. Rs sont entiers, moindres que n. et l’on exécute n divisions : l’un d’eux sera^dnnr nul.

436 COMPLÉMENT d'aEGÈBRE.

Soit P la valeur correspondante do y. On aura

jr = = a ( nombre entier),

d’où . f

et l’équation proposée admet la solution

41 . Lorsque réquation ax -\-hy = c admet une solution entière, elle én ailmet une infinité.

Puisqu’on a alors

«a -t-ip = Oj • , •

on peut écrire ■ ,

nx by = aa. -y b^, ‘

d’où

Si nous désigndbs par 0 un entier indéterminé, positif, négatif ou nul, il suffira que y satisfasse à l’équation

pour que la valeur correspondante de x soit entière comme celle attribuée à y. Et, par suite, en posant

y=^ + ni) et .rr=a — éS,

on aura tous les systèmes de valeurs entières de x et de y qui satisfont à l’équation

J ax-\~by=c,

en faisan^^ircourir à 0 toute la série des nombres entiers, positifs ou négatifs.

On voit que les voleurs trouvées forment deux progressions par diffé- ' . '’rencc illimitées. L’une, celle qui correipond à y, a pour raison le eoefficierit de x dans féqiuition; F autre a pour raison le second coefficient de . F équation ; mais F un des deux coefficients est changé de signe.

’42. Tout revient donc h trouver une seide solution entière. On peut employer, suivant les cas, les trois procédés suivants.

. 43. i“ Le premier repose sur le mode même de démonstration employé pour prouver l’existence d’une solution entière ; mais il n’est convenable que lorsque l’un des coefficients des inconnues est un petit nombre.

Soit l’équation

le la résous par rapport à y qui a le plus petit coefficient. Il vient

a7i — qx

COMPLÉMENT d'alCÈBRE. 4^7

Jo n’ai qu’à remplacer x par les valeurs o, i, a, 3; l’une d’elles conduira à une division exacte (40). Pour x= 3, on trouve

L’équation admettant la solution

toutes les solutions entières sont renfermées (4i ) dans les formules x = 34-40, = 61—90.

0 désigne toujours un entier indéterminé, |>osllif, négatif ou nul.

44. a° Le second procédé est fondé sur cette remarque, très-simple : que, si dans l’équation

ax-^by = c

le coefficient 6, par exemple, est égal à 1, on a immédiatement une solution entière en pcfsaiit x = o et /= c.

Admettons que a soit le plus petit coefficient, et tironsdo l’équation (1 ) flx 4- = c

c — br

Divisons c et é par a, et faisons en sorte, en prenant les quotients par défaut ou par excès, d’avoir des restes plus petits que ^ en valeur absolue : nous diminuerons ainsi la longueur des calculs. Si l’on a

c = fliQ±:R et b==aii±r, ^

la valeur de x'deviendra " r-ft'**

x = 0-fy^4

Par conséquent, t désignant une nouvelie inconnue, la question est ramenée à trouver une solution entière do l'éqiiblion *

c’est-à-dire

/jr ± ry = ± R.

Remarquons que dans cetto équation les coefGcicntsdes inconnues sont le plus petit coefficient de l'équation primitive et le reste obtenu en divisant le plus grand coefficient de cette équation par le plus petit. Kn opérant sur l’équation (a) comme noos venons de le faire sur l’équation (ij, la mémo loi se (mursuivra. Ce qui montre immédiatement que les équations auxiliaires obtenues auront toujours pour coefficients deiuc tics restes êotuècuiifs qui correspomlent h Ut recherche du plus grand romnum diviseur fies nombres a et b. Or, CCS nombres étant premiers entre eux, on i«rviendra à un dernier reste égal à 1, c’est-à-diro à une der-

COMPLÉMENT d’alGÈBRE.

nière ëquatiou de la forme

mu -\-V=: p.

Cette équation aura your solution entière u = o e\. v = p\ et, en remontant de proche en proche, il sera facile de trouver une solution entière de l’équation (i). ' *■

Soit l’équation

77 j: — io4t^ =

On en déduit

(■■•) en posant

Un en déduit

en posant

On en déduit

en posant (7)

8i5-|-io4r

= t ou a7/-|- 77 / = 3a 5-1-4'

= t' ou 4' — 27/'=— 5.

lit' — 5 , r'-h I , .

= /' ou t'— 4r'= — I .

Nous voici arrivé 'à une équation où t' a pour coeflicient l'unité. On pourra donc' prendre pour solution de cette équation = o et r' = — 1 . LcS équations (6), (4), (a), donneront alors

et les solutions entières de l’équation (■) seront renfermées dans les formules

Remarque.— Si, dans les divisions successives, un facteur se présenteau dividende sans entrer dans te diviseur, il faut le mettre en évidence do manière à simplifier les calculs subséquents. Si l’on avait, par exemple,

une traction telle que 1 on l’écrirait sous la forme i et

on poserait seulement — jy- =

4f). 3" Enfin le troisième procédé est fondé sur les propriétés des fractions continues.

Réiluisons hi fraction irréductible en fraction continue. I.a réduction

COMPLÉMENT d’algÈBRE.

conduira à un nombre limité de termes (2i). Soit — l'avant-dernière

réduite. Nous aurons alors (28) • '

ain — W=±i,

et par suite, en multipliant par c,

, a(mc) — é(/c) = ±c.

En comparant ce résultat à l’équation ax -{-bj- = c, on voit facilement qu’on en aura une solution entière en prenant x = ±mc, y=:±lc.

Reprenons l’équation 77X — io4j-= 8i5. Je réduis en fraction con-

tinue. Je trouve les quotients successif

Les réduites sont donc

et l'on a

1 3 1 7 ao 77 ' I ô ’ 7 ’ ’ — t ’ ’

3 4 a3 a7 io4

d’où, en multipliant par — 8i5,