I . nx — br = c
ax-\-by= — r, ax — by= — c.
La troisième forme exclut évidemment la possibilité des solutions positives, et la quatrième forme rentre dans la seconde; car peu importe que ce soit l'im on l’autre des deux coefficients a et é qui ait le signa moins. Il n^lo donc à considérer les équations
. ax + by=c,
ax — by = c.
Commençons par la secènde, et soit x = a, y = ^, une solution quelconque de cette équption. Toutes ses solutions seront renfermées dans les formules ■ . , • i
~ x = a-(-é9, y—P + aO.
Pour que les blutions soient entières et positives, il suffit de donner à 9 les valears entières qui satisfont aux inégalités
a-t-fcO>o, P -f- a9 > O
ou
On voit donc que la seule condition est de donner à 9 les valeurs en-
li^jês.^ui sur|inssrnt la plus grande des deux limites — Ainsi
re^uâtiàh ax — by = c admet une infinité de soUaions entières et positives. ,
Passons I l’équation ax ■+■ by = r. Les formules qui donnent toutes les solutions èntîîires Mflt alors i
x = x — 69, y=p-|-fl9, *
Donc, on ne doit donner à 9 dans ce cas que les valeurs entières qui satisfont aux inégalités
otj— 69>o et p-+-flO>o,
c’est-à-dire Comme on a
9 < ^ et 0 > -4“
rta-f- 6p = c,
on iMiut remplacer prendre pour limites
9<— et 0>-^.
a nb a -
Donc, les solutions entières et positives de F équation ax-\-by = c correspondent aux ralcnrs entières tic 9 comprises entro-s*^ et
COMPLÉMENT d’ ALGEBRE. 44 ^
Par conséquent, l'équation considérée peut n'admettre aucune solution entière et positive; et, dans tous,, les cas, elle n'en admet qu'un nombre limité. •
11 est facile de voir que le nombre de ces solutions est le quotient en-
tier qui correspond à -^i différence des deux limites, ou ce quotient augmenté d’une unité. Ainsi, les deux limites étant ag | et 3g ^ > leur
différence sera g et il y a dix nombres entiers entre les deux limites.
Si les deux limites sont ag | et 38 leur différence sera égale à g et il y a neuf nombres entiers entre les deux limites.
VI. Application. — Trouver un nombre entier et positif tel, qu'en le divisant pur 7 il donne pour reste 5, et tel, qu'en le divisant par la il tionne pour reste 1 1 .
Si nous désignons par x et / les deux nombres entiers et positifs qui représentent les quotients du nombre cherché par 7 et par la, ce nombre admettra les deux formes
7x4-5 et I a v 4- 1 1 .
On auriy donc .à satisfaire, en nombres entiers et positifs, à l'équation 7x 4- 5 = ia/4- 1 1 ou 7x — ia7' = 6.
On en déduit
laj 4- 6 6 (a,) 4-1)
11 suffit do trouver pour y une valeur qui rende entière l'expression
aj"4- I
On y arrivera en remplaçant / par l'une des valeurs
O, I , a, 3, 4, 5, 6. Pour y = 3, on a — ■ = 1 et x = 6. Il en résulUs
x = 6-t-ia0, T' =3 4- 76.
On aura alors pour le nombre cherché les deux expressions \
. 7{64'Ia6)-^ 5=47-1-848,
ia(3-|- 78)4- Il = 47 -t- 84e.
Ces deux expressions sont égales, comme on devait s'y attendre et comme il est nécessaire qu'elles le soient si l'on a bien opéré. Tous les nombres demandés sont, en résumé, donnés par la formule 474-848, et l’on a bien , .
' + 47+ili.3 + 7« + i;.
7 7 la la
Résolution en nombres entiers de m équations contenant m -t- 1
inconnnes.
18. Soient deux équations à trois inconnues : (1) ax 4- bj -I- et = d.
COMPLÉMENT d'aLGÈBEE.
et
(2) a'x + b'jr-\-c'z = iF,
Ces équations sont supposées ramenées à leur plus simple expression. Pour que le problème soit possible, chaque équation doit admettre séparément des solutions entières. Il faut donc évidemment que les coefficients a, b, c, soient premiers entre eux, ainsi que les coefficients a', b', c'. Éliminons z entre les équations (i) et (2). Il vient
(3) (oc*— ffl') X (f*e' — cb')jr = flc' — ctf,
et l'on peut remplacer le système proposé par les équations (1) et (3). Cherchons les solutions entières de l’équation (3). Si elle en admet, elles seront de la forme
s est le plus grand commun diviseur des trois coefficients ne' — eu', /w' — cb', de'—eet-, car, avant de traiter l'équation (3), il faut rendre ses coefficients premiers entre eux. 0 est un entier indéterminé.
Pour que l'équation (3) admette des solutions entières, il faut que les quotients qui multiplient 6 soient premiers entre eux (39).
Si cette condition est remplie, on substituera les valeurs trouvées pour X et pour r dans l’équation (i), et elle no renfermera plus que les deux inconnues z et 0 qu’on pourra, si toutefois l’équation transformée comporte des solutions entières, exprimer en fonction d’un nouvel entier indéterminé S'. Il sera facile alors d’obtenir x, / pt z en fonction de 9' seulement.
49. Il faut remarquer que, si les eocfficients c et c' eFune m^me ineonnue sont premiers entre eux, la seule condition de possibilité du problème est epw Péquation ( 3 ) admette des solutions entières.
En effet, reprenons dans cette hypothèse les valeurs
be' - cb'
. ne — eu
et subslituoRS-lcs dans l'équation (1). Il viendra, on simplifiant, '
(4) ' c[jba' — ob')0 -^cS z = S (d — «2 — 6^).
D'autre jart, puistjuc l'équation (3) admet la solution x = uip=p, on doit avoir » '.
{ne' — c«')2 (6f' — eb') p = fie' — cd,
d'où
c(il' — a' a — b'p) = c' [d — a a — bp).
On voit par là que, e étant premier avec c', il doit diviser d— a-x — bp. Apjwlons Y le (piolient de roUc division, et reportons-nous à l’éqnalion (4) ; elle deviendra, si l’on divise ses deux membres jar r.
(bu' «6') 0 -f- lîz — «I//.
COMPLÉMENT d’aLGÈBBB. 443
On obtient donc immédiatement, dans le cas de r premier avec c', une solution entière de l’équation (4) ou de l’équation (i) transformée, en posant 0 = 0 et Z = f/.
Le raisonnemeut précédent prouve, en même temps, qu’on a intérêt à * éliminer d’abord l’inconnue dont les roefficients sont premiers entre eux, puisque la résolution de l’équation en 2 et 0 est alors immédiate.
MO. La marche que nous venons d’indiquer pour deux équations à trois inconnues est générale, et elle s’applique au cas do m équations contenant m -f- 1 inconnues, quelle que soit la valeur de m.
