I® Soit à résoudre l’équation
On en déduit
2Zi=5o.
COMPLÉMEHT D ALGÈBRE.
Z devant être multiple de a, poâons
Il viendra On en déduit
ax— 9v + a7s'= 5<i.
a et g étant premiers entre eux, il suffit de rendre entier le quotient ~
Poson»
x+gt = a5.
On aura immédiatement, pour solution de relie éciuatinn, x=a5 cl / = o,
d’où (41)
Revenons à l'équation (i). Nous aurons
2’ = O et >• = — aO est une solution de celte équation. On pourra donc écrire
— a®+36' et 2=6'.
Toutes les solutions entières de l'équation proi>osée seront donc renfermées dans les formules
où 6 et ®' représentent deux entiers indéterminés, positifs, négatifs otr nuis.
Si l’on ne veut admettre que les solutions entières et positives, il faut qu'on ait
a5 — 9®>o, — aô-t-30'>o, a0'>o.
On déduit des deux premières inégalités
9<^ et Ô'>^- 9 3
On voit qti’on pourra donner à 6 toutes les valeurs possibles au-dessous de 3, et à ®' toutes les valeurs possibles au-dessus de ^ quand® sera positif, et toutes les valeurs positives possibles à partir de o quand 0 sera négatif. ^
B4. a° Soit encore l’équation • • * .•
, ax-t- 5/+ 102 = 187. . .
a et 5 étant premiers entre eux, j’en déduis ' . "S,
ax-f-5r=i87 — 102. • ,
Posons Il viendra d'où
Posons
COMPLÉMENT d'alGÈBBE.
ix-\-5y=t,
t — iy , ^ ~ ’
Celte dernière équation admet la solution
Donc, toutes ses solutions seront’rcnfcrmées dans les formules f'=e, y=t — %(}.
On aura alors
x= — ny+t' = — a/ + 58.
Remplaçons t par sa valeur 187— loz, et il viendra
X = — 374 +aoz + 50, 187 — loz— 26.
Dans ce cas, x et j sont exprimées en fonction dc-la troisième inconnue z et de l’indéterminée 8. On donnera à z et à 0 des valeurs entières quelconques, et l’on déduira dos formules trouvées les valeurs correspondantes de X et de y.
Si l’on ne veut admettre que les solutions positives, il faudra qu’on ait — 374-I-aoz-)- 5fl>o et 187 — loz — 2Ô>o.
’On en déduit
et ■
Pour que ces conditions ne soient pas contradictoires, il faudra qu'on ait
c’est-à-dire
On pourra donc donner à z toutes les valeurs entières et poBilives depuis O jusqu’à 18; et, pour chaque valeur de 2, on saura par les deux inégalités précédentes quelles valeurs de 6 on peut adopter.
Apposons z = 10. Nous aurons
ce qui montre qu’en prenant z=r lo, on pourra donner à 0 les valeurs 35, 3C, 37, 38, 39i 40, 4i, 4*. 43. A z = 10 rorrespondront donc neuf
COKPLÉVEHT d’aLGÈBRE. 447
solutions entières et positives de Téquation proposée. On calculera de même les autres solutions.
S5. 3“ Pour no rien laisser à désirer sur ce sujet qui peut trouver son application dans plusieurs problèmes intéressants, nous terminerons ce chapitre en traitant le système suivant qui renferme tleux équations et qtuure inconnues :
jr-t-j + z + « = loo, aox -I- I oj -4- 4 î 4- « = aoo .
Nous éliminerons u par soustraction, et nous obtiendrons
igj; + 4- 3s = loo.
d'où
gj-î- 3z = 100 — 19X et 3r-h^
Posons
igx 4- 3/ = 100.
Nous aurons immédiatement une solution entière de cette équation en posant
X = I et r = ay.
Par suite, toutes les solutions entières de l’équation considérée seront ^ renfermées dans les formules x = i — 3 6 et < = ay + ig9.
Revenons à l’équation Zy-\-z = t. Elle admet la solution j = o et s = /. Donc toutes ses solutions entières correspondent aux formules
y = V et 2 = r — SO* = a7 4- igô — 39'.
X, y, 2, étant ainsi exprimées en fonction des deux entiers indéterminés 9 et 9', substituons les valeurs obtenues dans la première équation du système donné. Nous en tirerons
Si l’on ne veut admettre que les solutions entières et positives, il faudra qu’on ait d’abord ,,
I— 39>o, c’est-à-dire 9'>o.
Ainsi 9 ne peut recevoir que des valeurs négatives, y compris o, et 9' que des valeurs positives, y compris o. Il faut de plus satisfaire aux iné-' galités ^
+ — 39' >o et 36— 8 9 4-9' >o.
On en déduit
6'<9 4-.1|: et 9' > 89 - 36.
Puisque 9' doit être positif et 9 négatif ou nul, la secqhdc condition sera toujours satisfaite, et il ne reste plus à tenir compte que de la pre-
448 COMPLÉMENT d'alGÉBEB.
mièro. Or, si l’on suppose 0 = o, on aura ^ < 9, c’est-à-dire qu’on peut supposer en même temps
0 = 0 et 0' = o, i,a, 3, 4, 5, 0, 7, 8, 9. .
Si l'on suppose 0 = — 1 , il vient 0' < j > ce qui montre qu’on peut supposer en môme temps
0 = — I et 0' = o, 1 , a.
Enfin, on ne peut pas donner à 0 de valeurs au-dessous de — 1, à cause de la condition 0’ > o.
On a donc en tout trrizf solutions entières et positives dont voici le tableau :
:... ay,
la,
7fi,
