I . 2 . 3 ... CT
58. On trouvera, en suivant une marche identique, que le terme général du développement de (<i-(-6 + c-f- ... -+-/)" a pour expression
Et pour avoir tous les termes du développement, il suffira.de prendre toutes les valeurs de «, p, 7, . .. , X, qui de o à ct satisfont à la relation = CT, avec cette restriction que si l’un des exposants, a par exemple, est remplacé par o, la suite correspondante du dénominateur ou 1.2. 3... a, sera remplacé par l’unité.
Ainsi, le cube de a-t-b-i-c s’obtiendra en supposant chacun dos expo- ^ sants a, p, 7, égal à 3 et les deux autres nuis (ce qui donnera les cubes f des trois termes a, b, c]; puis, chacun des exposants a, p, 7, égal à 2,ffl avec l’un des deux restants égal A i ct le troisième nul (ce qui donnera^ trois fois le carré de chacun des termes a, b, c, multiplié par la somme des deux autres termes); enfin, on prendra les trois exposants égaux à II. . 79
45o complément d’algèbre.
l’unilé (et l'on obtiendra ainsi six fois le produit abc). On aura donc
( rt + + f )’ = 4- 4- -I- 3«’ ( /.» 4- c )
■ 4- 3i’(n4- c) 4- 3^'’ (n4-^) 4- Crt^ic.
Racines des polynômes.
•f»9. On suppose qu’un polynôme donné A est la puissance d’un polynôme inconnu a, et il s’agit de déterminer a ou la racine de A.
Si les deux polynômes sont supjiosés ordonnés suivant les puissances décroissantes d’une mémo lettre .r, la puissance /«"”"■ de « de\ra reproduire identiquement A. Or le premier terme de la puissance de a sera 'la puissance du premier terme de a {c/lg. élém., 21). Donc on obtiendra le premier terme de la racine cherchée en extrayant la racine m'"“ du premier terme de A.
Cherclions maintenant comment on peut, connaissant plusieurs termes de la racine, trouver le suivant.
Soient P la somme des termes connus et p la somme dos termes qu’il faut déterminer. On devra avoir
d’où ,
c’est-à-dire
; . A-P"=rwP"-'p-t--'”^"'~'^ P" V’4-....
P étant connu, on aura facilement P" et, par suite, A — P". Le premier terme de cette différence sera égal au premier terme du second membre, en supposant toujours les polynômes considérés ordonnés de la môme manière. Le premier terme du second membre est d’ailleurs le premier terme du développement de /nP”"'p; car p est de degré moins élevé que
P et, dans tous les autres produits P’"^’p’, ... , un facteur
P est remplacé par un facteur p. Le premier terme de la différence A — P" sera donc égal au premier terme do /wP"“' multiplié par le premier terme de p. On obtiendra donc immédiatement par dirision le premier terme de p.
'Comme le premier terme de wiP”*' est égal à /n fois la [m — i)'™' puissance du pçemier terme de P, dans toutes les divisions qui fourniront les différents termes de la racine, à partir du second, le diviseur restera le même.
60. Si A n’est la puissance /w**’" d’aucun polynôme, A — P" ne sera jamais nulle, et l’opération se poursuivra indéfiniment. Ia*s expo.stnLs de la lettre ordonnatrice deviendront négatifs et croîtront sans cesse en valeur absolue. On sera averti de ce cas, en voyant apparaître à la racine un terme de degré moindre que celui qui devrait être le dernier : le dernier terme de la racine, quand elle est exacte, s’obtenant d'ailleurs nécessairement (.lO) en extrayant ta racine du dernier terme de A.
COMPLÉMENT d’aLGÈURE. ’ • ‘ 4^* •
On peut encore indiquer d'autres caractères d’impossibilité; nous n'ii)sisterons pas sur ce point ( * ).
Triangle aritlmiétique de Pascal.
61. D'après ce que nous avons dit éléni., 234),‘il est facile do voir que le nombre de Qombinnisonx 'de m lettres prises n a n est rgnl au nombre de combinaisons de m — i lettres prises n à n, augmenté du nombre de combinaisons de m — i 'lettres prises n — \ à n — i .
En effet, on peut partager les combinaisons do m lettres c/.à n on deux catégories : celles qui ne cohliénnonl pas une certaine lettre <7, ■cl celles qui contiennent cettç Jettre. Celles qui ne contiennent pas n correspondent évidemment la m — i lettres combinées n i n\ et pour avoir celles qui contiennent a, on n'a qu'à former les cx>mbinaisons a —1 à n — I des m — I autres lettres, puis à écrire « à la droite de chacune d’elles. On démontre ainsi la formule • * I '
On peut aussi l’établir directement à l'aide de là formule du binôme.
Soit (Alg. élém., 237).
Multiplions les deux membres de cette égalibi par ^4-<i. Le premier membre deviendra {x4t<?)". Le tqrme général du second membre sera
C7-' fl- .r" ■ -H C7r,’ o" ,r"
c’est-à-dire • •
Hais le terme général du développement de (.r4-«)" a aussi pour expression • ’ ■ '
crrt*r"". . • •
Donc, etc.
' 62. C'est stir cette remarque qu’est basée la formation, du triangle de
Pascal. Écrivons régulièrement, l’une au-dessous de J’autre, des'lignes horizontales renfermant les coefGcicnts du développement do la première, .de la seconde, do la troisième,..., de la puissance du binôme x4-(i. D’après la seconde démonstration du n°61,on formera oe Uibleau, dès qu'on en aura écrit les j^ois premières lignes, en ajoutant deux noiA-' ôrcs eonfjéeatifs de la derruere ligne obterute et en\écricaqt le Yésuliat trouvé aii-dassous du nombre- dç jùvite. Toutes les lignes horizontales commencent d’ailleurs par "Punité. Dans ce qui va sujvrd, nous ferons ahs-
(*) Lü formule du liinAine permet auni d’extraire la racine m'*" d’uii nombre entier, en suivant une marche tout k fait analogue h celle que nous avons indiquée en ArilMméli^ue ponr les racines carrée et eatlqur.
45a . • C.OMI•LÉME^T b ALGÈBRE.
traction rie In première colonne verticale du tableau, qui ne contient que des I, en remarquant que dans le développement du binôme les difTé* rents nombres^de combinaisons sont donn^ par les coefficients, à jmrtir du second.
lO
ti 1
84 ra6
ia6 84
lO
a5a aïo
cr
f'm tij ï •
Si'l'on veut former la septième ligne horizontale, par exemple, on dira
1+6 = 7, i5 + G=ai, ao+i5=35, i5+ao=35, 6+i5 = ai, 1+6=7, 0+1 = 1.
Celte loi de formation conduit à la propriété suivante : Un nombre situé dans une colonne verticale quelconque du tableau est la somme de tous les nombres supérieurs rie la colonne verticale précédente (*). Ainsi, . ‘
aio=84+ia6, ia6 = 56+70, 70= 35 + 35, 35 = ao+i5, i5=io + 5, 5=4+t, d’où" •
a I O = 84 “I” 56 + 35 +■ ao + i o + 4 ~f" i •
Or la ligne horizontalç de rang m renferme les nombres de combinaisons de m quantités prises i à i , a à a, 3 à 3, . . . , m à /7i ; et la ligne verticale dé rang/; commençant précisément à la ligne horizontale de rang p, renferme les nombres de combiqaisons de />, de /> + i, de (/; + a), . . (]uanlités prises p-k p {**), D’après cela, le tti''** nombre de la pf'"" co- •lonne verticale est placé à la rencontre de cette colonne et de la (/»+/> — i)‘^ ligne horizontale. Ce nombre représente donc le nombre de combinaisons de (w+/> — i) objets pris p k p, c’est-à-dire
• ou ’(•)
rm-,-, m[m + i)(m-i-ï) ...{m+p- i) “^1. a. 3.... p
(*) Cette propriété correspond à une formule remarquable relative aux com> binaisons :
Celte fonmilc dépend évidemment du théorème démontré au n® GI.
(**) 11 fuiU toujours avoir soin de se rappeler que la colonne verticale des unités CHl lai«i*tée de c<^té, el ne compte pas dans le rang p»
COMPLÉMENT d’alCÈBRE. • • 4^3
63. Voyons imiintenaot à quels résultats peut conduire la considération du triangle arithmétique.
Les termes de la première colonne verticale du triangle (toujours abstraction’ faite de la colonne des unités) sont dits nombres figurés du premier ordre ; les termes de la seconde colonne verticale, nombres figurés 'dû second ordre, et ainsi de suite. Nous verrons bientôt la raison de ces dénominations,
Ceci posé, cherchons la somme des m premiers nombres naturels. Celte somme-scra celle des m premiers termes de la pregiière colonne verticale du triangle : elle sera donc« représentée (62) par le second nombre de la ( w -t- I )'**'• ligne horizontale ou par le m""* nombre figuré du secoml ordre. Il suffira donc de faire a dans la formule (i). On trouve ainsi pour la somme cherchée
résultat déjà connu c7ie/;i., 9.’i). . . ■ .
Cherchons de meme la somme des carres des m premiers tiombres naturels. L’identité
. rapprochée du résultat précédent, prouve que la somme demandée est égaie à la somme des m premiers nombres naturels, augmentée de a fois la somme des (m — i) premiers nombres figurés du second ordre, c’esuàdiro du double du (m — i)"”“ nombre figuré du troisième ordre. Pour avoir ce dernier nombre, on remplacera dans la formule (■) m par (m — i) et l’on y fera 3. On trouvera ainsi
( OT — I ) . m . ( /n -f- I )
et la somme des carrés des m premiers nombres naturels sera
c'est-à-dire
m (m + i) (am-l- i)
On trouverait de la même manière, s’il était nécessaire, la somme des cubes des m premiers nombres naturels, qui est
ce résultat montre que la somme des cubes des m premiers nombres est égale au carré de la somme de ces m premiers nombres.
Nous allons faire application de ce qui précède à la sommation des piles de boulets, telles qu’on les rencontre dans les ar^naux.
COMPLÉMENT d’ ALGÈBRE.
Sommation des ‘piles de boulets.
Fie
(U. l’Uvs iritin<rnùiires. Une pile de boulets triangulaire est formée do trancht^ équilatérales dont les côtés contiennent successivement un boulet de moins, jusqu’au sommet de la pyramide formé-, par un seul boulet. Si la base est un triangle équilatéral dont le côté contienne m boulets, le côté de la tranche superposée contiendra (/n — i ) boulets, celui de la tranche suivante (m — 2) boulets, et ainsi jusqu’au sommet.
Or, si l’on considère la base de la pyramide, elle sera formée évidemment de m lignes, de boulets contenant : la première i boulet, la seconde a boulets, la troisième 3 boulets, la m boulets. Donc la somme des boulets renfermés dans cette base sera la somme des m premiers nombres, c’est-d-dire ( 63 )
• ■ < /ji -f- 1 )
oiî le «/'*’“ nômbrp figuré du second ordre. De même, la somme des boulet^ renfermés dans la tranche superposée sera la somme des.(m— 1) pre(hiers,nombre8 ou le (/»•— nombre figuré du second ordre , etc. '^On voit par là que le nombre des boulets renfermés dans la pyramide totale sera la somme des m premiers nombres figurés du second ordre ou. le nombre figuré du troisième ordre, c'est-à-dire (03)
/« fm-t- I) (m + a)
A cause de ce qui' précède, les nombres figurés du second ordre ont rè(\r le nom de nombres triangulaires, et ceux du troisième ordre celui de nombres pyramitlaiu:.
6.''). Piles h base carrée. Une pareille pile est formée de tranches carrées dont les' côtés contiennent successivement un boulet ’de moins, jus(|u'au sommet de la pyramide formé par un seul boufe(. Si le côté de la base contient m boulets, la base tout entière contiendra né boulets. Le côté de la tranche suivante contiendra (»i— i) boulets, et la tranche en contiendra*(/H — .1)’, etc. La question est do.nc ramenée, en partant du sommet, à chercher la somme
des carrés des m premiers nombres, somme qui est égale (63) à
/«(/« + 1) (aw-t- 1)
66. Pilesmh hast: rectangulaire. La base d'une pile rectangulaire est foi niée .de « files de m boulets (/«>«). La tranche superposée contient ( « — I ) files de (m 1 ) boulets, la tranche suivante (» — a) files de («/ — a) boulets, etci, jusqu’au sommet de la pile qui renferme l'iile de /« — (« — i) ou de (P — ?i-|- 1 boulei.s.
Pour plus de simplicité, posons m-rn—p. //représentant la dillcreni e deS nombres de boulets contenus dans les deux cotés de la base.
DI, 1 1 L1J bÿ Guugic
COMPLÉMENT d’aLGÈBBE. 4^3
En partant du sommet, on voit que la pyramide sera formée d’une file de p+\ boulots, reposant sur a files de p-^i boulets, rei>osant ollesmémcs sur 3 files de />4-3 boulets, etc., jusqu'à la base formée de «files de (p-^n) boulets. 11 s'agit donc d’effectuer la somme
c’est-à-dire
il faut donc, au produit de p par la somme des « premiers nombres, ajouter la somme des carrés de ces « premiers nombres. On aura donc, en vertu de ce qui précède (G3 ),
. 67. On calcule par différence le nombre des'boulets contenus dans une pile Iromptvc.
Sommation des paissances semblables des termes d'nne progression par différence.
68. On aurait pu suivre une méthode plus rapide pour trouver la formule de la somme des carrés des m premiers nombres, formule qui nous ' était seule nécessaire pour arriver à la sommation des piles de boulets. Cette méthode est basée sur la sommation des puissances semblables des termes d’uno progression par différence.
^ient a, b, c, fl,..., h, k, /, les {/« -|- i) premiers termes d’une progression par différence, de raison r. Nous aurons ( Alg. élém., 90) :
Élevons toutes ces égalités à la («-(-i)''"' puissance. Il viendra ^Alg. élém., 237 ) , “ *
If*' = c/^' 4- (« 4- 4- r’n"-' 4- . + {« + ()r*q-f-r"+',
c"*‘ = b"*' 4- (« -f- i)r6* 4- — r'fr' ' 4- . . . («-f-i)r"fr+r*^',
P*' = 4- („4-,)rA"4- '4- ...4.(,Î4.,)r»/(-4-r-+'.
Si l’on ajoute toutes ces égalités membre à membre et si l’on supprime les termes communs, il vient
