CHAPITRE PREMIER

NOTIONS SI:K les SÉRIES

Définitions .

D3. Comme nous l’avons déjà dit (Âlg. étém., 104), une série est une suite indéfinie de termes qui se déduisent les uns des autres d'après une loi déterminée.

Il peut être utile de remplacer par des séries certaines fonctions compliquées, soit pour calculer plus simplement leurs valeurs numériques, soit pour étudier leurs propriétés. Mais alors il faut que Ui série employée ait réellement pour limite lu fonction considérée.

Les séries les plus simples sont ordonnées suivant les puissances entières et croissantes de la variable, et ce sont aussi les premières qu'on

ait rencontrées, en appliquant la règle de la division à la fonction

et celle de l’extraction des racines à l’expression ÿjari-bx.

Lorsqu’une série a une limite, peu importe le nombre de termes qu’il faut y considérer s'il ne s’agit que d’une démonstration indépendante de toute valeur numérique. Au contraire, s’il s’agit d’obtenir une valeur suffisamment approchée de la fonction, il est nécessaire, pour que les calculs ne deviennent pas impraticables, que le dernier terme de la série dont on doive tenir compte ne soit pas trop éloigné.

Nous nous bornerons ici à étudier les séries en elles-mêmes , c’està-dire nous chercherons quet()ucs caractères qui permettent de s’assurer , de la légitimité de leur emploi.

04. üne série est convergente, lorsque lu somme de ses termes, à mesure qu’on en considère davantage, converge vers une certaine limite. Une progression géométrique décroissante est une série convergente.

Toute série qui n’est pas convergente est dite divergente. L’emploi d’une, ]Kircillo série ne présente, en général, aucune utilité.

Une série est divergente, soit parce que la somme de ses termes augmente indéfiniment, comme cela a lieu dans les progressions géométriques croissantes il soit parce que la somme do ses termes oscille entre cerlaine.s valeurs .«ans converger vers une limite fixe, comme cela a lieu pour la série -(► i — i ’4- ' — < +

95. Dans ce (pii suit, la sérié considérée sera représentée par la

COMPLftMKKT h'aLGÊBUE.

somme des termes

Nous désignerons par U la somme de la série ou sa limite, par U., U, , , ,

L',,.,, les différentes sommes obtenues en considérant les //, les

" 4- 1 , les « 4- a, ... , premiers termes de la série. La dilTérence U — U, s’appelle reste de la série.

96. Il est d’abord évident que, lorsqu’une série est convergente, ses termes approchent indéfiniment de zéro. Dans ce cas, en effet, pour n assez grand, il faut que la différence U — U, soit moindre qu’une quantité a aussi petite qu’on voudra, sans quoi la série ne tendrait pas vers une limite fixe. Donc la différence de deux sommes consécutives, à partir d’un certain rang, sera moindre que a si elles ne comprennent pas U entre elles, et moindre que aa si elles comprennent U. Or la différence de deux sommes consécutives est le dernier terme considéré. Par conséquent, à partir d’un certain rang, les termes de lu série sont inférieurs à aa , c’est-à-dire convergent vers zéro.

Mais la condition indiquée /teut e'tre rem/dic sans que la série soit eiinvergente. Par exemple, la sérié

n’est pas convergente, et cependant ses termes approchent indéfiniment de zéro. Elle n'est pas convergente, car la somme

est, quel que soit n, plus grande que ^ i puisqu'elle se compose do n

termes plus grands que sauf le dernier égal à A partir d’un terme quelconqiu-, on peut donc prolonger assez la série pour faire croitre sa somme de Et il en résulte que cette somme peut, en considérant un

nombre suffisant de grou^ies plus grands que surpasser tonte limite, donnée.

97, I. Pour qu’une série soit convergente, il faut et il suffit qu’en prenant n assez grand, la somme tPun nombre quelconque de termes après les n premiers, tombe en valeur absolue au-dessous d’une quantité donnée aussi petite qu’on voudra.

En effet, si la série est convergente, les sommes consécutives U,, U„i , . . . , U.^,, diffèrent toutes de D d’une quantité a aussi petite qu’on voudra. Et il en résulte que leurs différences (de la première à la dernière), exprimées par

sont, en valeur absolue, toutes plus jietites que aarr a' (96).

Kéeiproqiicment, si U, et ü,,.,, p étant quelconque, different, en va

4yO COMPLÉMENT d’aLCÈBUE.

leur absolue et pour « assez srand, d’une quantité moindre que a', U ne peut surpasser Ü„ + a' ni tomber au-dessous de U, — a’. Par conséquent, U approche autant qu’on veut de U, ±a'... et, dôs lors, a une limite déterminée, de sorte que la série est convergente.

08. II. 11 suit de ce théorème que, lorsqu'une série est convergente qunml on prend tous ses termes avec le même signe, elle l’est encore lorsqu’on les multiplie tous par un même nombre ou par des nombres différents, positifs ou négatifs, mais finis.

En effet, la somme arithmétique des termes de la première série est supposée, à partir d’un certain rang, moindre que toute quantité donnée. Il en sera donc de mémo dans la série transformée ; car la somme de ses termes' à partir du même rang tombera au-dessous du produit de la somme des termes correspondants de la première série, par le plus grand des facteurs introduits qui a une valeur déterminée.

ôn S0i.pcut pas toujours reconnaître que la somme d’un nombre quelconque do termes de la série considérée tombe, i partir d’un certain rang, au-dessous de toute quantité donnée.

Il faut alors, pour se rendre compte de la nature de la série, avoir recours à d’autres théorèmes. Nous allons indiquer les plus simples, en considérant d’abord les séries dont tous les termes sont positifs.

Séries dont les termes sont positifé.

100. Lorsque les termes d’une série sont tous positifs, la somme des termes croit sans cesse : indéfiniment si la série est divergente, en s’approchant d’une certaine limite si la série est convergente.

11 suffit donc pour prouver, dans ce cas, la convergence de la série, de reconnaître que la somme de scs termes ne croit pas indéfiniment.

Si la série donnée a ses termes constamment plus petits que les termes ' correspondants d'une autre série convergente à termes positifs, élle sera convergente. Si elle a scs termes plus grands que ceux d’une autre série divergente à termes positifs, elle sera divergente.

101. En s'apuyant sur la remarque précédente, on démontre immédiatement le théorème suivant :