III. Soient deux séries à termes positifs
si Fou a eonstumment, à partir <Fun certain rang, -tttl <; , fa ron-
ivtgenee de la première série entraînera celle <le la seconde série.
En effet, on a alors
Si l'on multiplie la première série par — » tous ses termes, à partir du
(o-t- deviendront plus grands que les termes corresjwndants de la
stvondo série, et elle ne ce.ssera |»as d'étre convergente (98, 11), La seconde série sera donc convergente i ItM*),
COMPLÉMENT d’aLCÈBRE.
Si; la prcmioro série étant divergente, *on a au contraire — < j la seconde série sera divergente.
102. rV. Une série à termes positifs est convergente si, à partir d’un ectiain rang, le mpfmrt dun ternie au précédent est enmlainmenl inférieur à une limite fixe moindre que Punité. FAlefest divergente, lorsque , le rapport considéré. est consianpnent supérieur à f unité. '
Soit la série . • ' ■ <
Supposons que ait une limite a moindre qve l’unité, on pourra choi-
sir un nombre A compris entre a et l’unité, et prendre h assez grand pour écrire
'is±i .
On en déduit ; j ‘
Par conséquent, tous les termes do la série, à partir du («-+- i)““%'sont ' moindres que ceu\ do la progression géométrique décroissante
* ^ td fd “i~-# • • •. • •
La série pro(K)sée csl donc convergente (ibo). ' '•
On a d’ailleurs, dans ce ras, , • .
c'est-à-dire [Alg. élém., 101 ) . , ‘ ,
lim(K,-t-«.^,4-«,,,4-.*..)
de sorte que l’crrour commise, en s'àkTètant'dan’s la sommation^ du la série au terme est moindre que ""
Si, au contraire, le rapport a une limite a supérieure à l’unité, 011
pourra clioisir un nombre X compris entre l 'et a, et prendre n ass^z grand pour écrire
îîi±i>4t, î^=i?>X,
Les termes do la série proposée seront alors, à partir du ( « -f- 1 plus grands que ceux de la progression géométrique croissante
■ (’aïtlo stlrie sera donc divergente (100).
Lorsque la limite a est égale à Punité, on ne petit plus, rien affirmer : ta série peut être convergente nu divergente.
Il csl bon de remarquer que lo rapport — ' ne l^nd pas loujoure vers
472" • COMHLÉMEHT d'^LCÈBRE.
une limite déterminée. Il suffit que Ce rapport finisse par rester toujours nu-dessous d’un nombre déterminé plus petit que i pour que la série soit convergente, au-dessus d’un nombre déterminé plus grand que i pour que
la série soit divergente. On ne peut rien affirmer si le rapport est tantôt plus petit, tantôt plus grand que i.
J 03. Exemples; •, ' .
i" Soit la sérié
X ad jd' x"
Il JC •
Le rapport est ici représenté par - : pour n assez grand et pour uno
valeur déterminée de x, il finira donc toujours par tomber au-dessous de 1. Donc, quel que soit x, la série considérée est convergente.
2" Soit la série *
On a ici
' l.e rapport considéré a donc x pour limite. Si x est moindre que 1 , la série est convergente ; elle est divergente, si x est supérieur à 1 .
Si l’on suppose x = i , on retombe sur la série
déjà considérée (96), et nous savons qu’elle est divergente.
On donne à cette dernière série le nom de série harmonique, parce que trois termes consécutifs ou trois termes équidistants quelconques y forment une pm/Kirtion hiirmnniqiie (Conipt. de Géom.,'ik). On a bien, en effet.
ou, plus généralement,
n -hp
?*' Soi t la série
ày (.iooqlc
COMPLÉMENT d' ALGÈBRE.
On a ici
La limite z (102) étant égale à l’unité, on ne peut rien affirmer. Mais, en .remarquant que
on peut évidemment écrire
Il 4- I
et cette égalité prouve que la série est convergente et que sa limite est l’unité.
4“ Sçit la série ■ • • ■
