I 1.3. 5. ..(ara

a. 4. 6 4' ' a.’4.6 . . . (ara — a) «

Kn effet, pour passer dans la série harmonique du terme au terme

T I il l’eut multiplier — ' par " ^ '

plicateur correspondant à employer est

ra — I

Dans la série proposée, le multia« — 3

^ ; et, pour qu on ait

a ra — 3 ^ II — I ^ ■■ 1 2 fi — ‘À " fc

qu’on dépasse les doux [iremicrs termes. Ainsi, les termes de la série con-

il suffit que ra soit plus grand que a, c'est-à-dire il suffit

4j4 COMPLÉMEMT d’aLGÈWE.

sidérée sont, à partir du troisième, constamment «upérieurs aux termes ' correspondants de la série harmonique. La série proposée est donc divergente.

On. aurait pu encore s'appuyer sur le théorème III {101 ) pour prouver

la divergence do la série; car, en formant les deux rapports ~ et' > on a . y

' fl

En simplifiant, il vient en effet

«<- — 1 d ou Ion tire «> 1.

Donc, à partir des- seconds termes, la condition <. est remplie. ‘

5“ Considérons enUn la série rcmarijuable . • ■

Le rapport est égal à • .....

'h tnfiai, la limite de ce rapport est i. On no peut donc |tas pio> Bncer:’ >»i

Mais si l’on, suppose a= i, on retombe sur la série harmonique •

2 3 .4 II fl -h i

Si a est < 1 , les termes de la série proposée surpassent les lermas corres|)ondanls do la série harmonique ; la série est donc alors divergente. Si l'on a a> 1, on peut grouper les termes de la série comme il suit ;

Le second groupe est moindre que

ou que

Le ttuisieme groupe est moindre que

• -r- ou qil'' . r-

Digitize<iby Goc^lc

COMPLÉMENT D ALGEBUE. 4?^

D’une manière générale, chaque grou|>e ferme une somme moindre que la fraction initiale, multipliée par son dénominateur (abstraction faite do * l'exposant a). Ainsi, le groupe

est moindre que

Les termes do la série considérée groupés de cette manière tombent donc, à partir du second groupe, au-dessous des termes correspondants de la progression par quotient . ■ .

-L —zn. — r; + • • •+ - — ttt" — rr + -- ■

^aCa-i)

dont la raison est — — . et, comme a est > i, cotte progression est dé- , •. 1 >

croissanle. Donc la série proposée , divergente pour a < i , est convergente pour a > I.

Séries dont les ternes peuvent avoir des signes qneleonqnes.

104. Lorsqu’en rendant tous leé' termes d’une série positifs, elle est

convergente, elle le reste évidemment lorsqu’on restitue aux termes leurs différents signes (98, II). Mais 6n ne peut pas affirmer qu'uge série qui devient divergente parce qu’on prend tous ses termes positivement, l'est en réalité. ’

105. V. Lorsque les termes iPiine série eonver^ent vers zéro en déenissnnt (Piin terme à V autre ci en étant nUvrnativcment fjositi/s et négatif t, ta série est convergente.

Prenons un nombre quelconque de termes à partir de, //, et formons leur Somme. Comme les signes des termes extrêmes peuvent être positifs ou négatifs, nous devrons écrire

La valeur de la parenthèse ou la valeur absolue de la somme considérée est évideiiimenl moindre que ce qu’on ajoute tombant toujours au- ,;d(SsoÛ8 de ce qu’on retranche ; et comme «, tend vers zéro, la série est ■ consergtmto (97, I).

* rtn niii.! I.,j> a:ir/..<nni..s L.nrr.nw,o 17 17 )U,+ 1 soot altemalivO'

les dilTérenUis sommes U, , ü.

Do plus,

' ment plus grandes et plus petites que la somme de la série; car, on s'arrêtant. inclusivement à nn terme positif, on a une somme plus grande que ' la limite de la série et, en s’arrêtant à un terme négatif, une 'somme plus jK'tili'. Un voit*j»en mémo temps, que l’erreur commise en prenant « termes riiÇ:'fe(?^rie est moindre que le terme .auquel on s’arrête, c’est' ■’Ü-dirc Miïèf'lo ( ^ -f- 1

476 COMPLÉMENT p' ALGÈBRE.