Soit la série

Nous avons déjà vu (103, 1°) que cette série était convergente. U est facile <lc dé montrer rptr sa somme est comprise entre j. et 3 , et que relie somme est un nnmhrc inenmmensilrahle.

COMPLÉMENT u’ ALGÈBRE. 477

La somme de la série surpasse a, puisque a ^ représente la somme de

ses trois premiers termes. De plus, les termes suivants sont inférieurs aux termes de la proRression par quotient

qui a pour limite .

La somme de la série tombe donc au-dessous de 3.

Supposons maintenant que la somme de la série soit une quantité coin-

mensurable — • On aurait n

n ' I I .a-~^ i.a.3~*~“’~^i.a.3...«~^i.a.3...n(« + i) ce qu’on peut évidemment écrire

”^i.a.3.../i'^i.a.3.../jf«-t-i~*~ (n-4-i) (/»+a)

Si l’on multiplie les deux membres de cette égalité par i\a.3.../<, le premier membre devient un nombre entier. Il en est de même do toute la partie du second qui précède la parenthèse, et cette parenthèse ne se trouve plus mnilipliéo que par i. Or la quantité qu'elle renferme est moindre que i, car elle est inférieure à la wmme des termes.de la progression

c'est-à-dire à

L’égalité admise est donc impossible, et la somme de la série est bien un nombre incommensurable : on le désigne par la lettre e.

D'après ce qui précède, on peut écrire

I I . î 1 . a , 3 R ayant péur expression

478 compléheht d’algèbre.

Mais, puisque la parenthèse est moindre que - > on aura

L’erreur commise en calculant les (« 4- 1) premiers termes de la série est donc moindre que la partie du dernier terme considéré. On opérera IKîs-rapidcmcnl, les termes réduits en décimales. se déduisant les uns des autres par sim|>lc division. En conservant les tluiizc premiers termes de la série, on obtient avec sept décimales exactes la \ aleur

Limite de