m‘ m(m ~ i). . .[m — « 4- 1 ) l < . . n nf
Comme dans chaque terme du second membre l’exposant de m au dénominateur est égal au nombre des facteurs du numérateur, on i>eut écrire ee développement de la manière suivante, en effectuant la division ;
R désigne la somme des termes qui viennent après les (/i -t- 1) premiers.
On voit immédiatement que les numérateurs des différents termes du développement étant, à partir du troisième, moindres que l’unité, les termes de ce développement sont, à partir du même rang, inférieurs é ceux qvii leur correspondent dans la séi^
Ainsi ^>4-,),^ est moindre que e. Mais remarquons que le ternie
général
• * COMFLÉMEIIT d’aLGÈBRE. 4^9
à mesure que m augmente indéfiniment, approche autant qu'on veut du
Par conséquent* en donnant à m une valeur convenable, les ( // + i ) premiers termes du développement de donneront unO' somme qui
différera aussi peu qu'on voudra do la somme, des ( « -1- 1 ) pre’m'icrs termes de la série c; et cela, quelle qiie soit la valeur finie attribuée à n. Mais la différence entre celte somme et e peut devenir aussi petite qu'on veut (108). Par conséijuent, la dillérencc entre r et la somme des («-+-i)
premiers termes de peut aussi devenir aussi petite qu’on veut;
et il en est de môme, à plus forte raison, de la différence entre e cl le
développement complet de + i de sorte qu’on peut poser
lim
m étant supposé entier et croissant indéfiniment.
* ’llO. Supposons maintenant m fractionnaire, et admettons qu'on ait, !> désignant un nombre entier très-grand et > étant moindre que l'unité,
m sera compris entre et -f- 1 , et l’expression erilrc les expressions ^i4- . En effet, la première expression
est pUis grande que ( i+ — ) , puisqu’on a augmenté à la fois la quan-
• » \ tïi J ,
lité élevée à la puissance et l’exposant de la puissance. Ijl seconde expression est au contraire plus petite. On a d'ailleurs
et
/,> étant supposé très-grand, les facteurs et ^i-+- ‘dif-
fèrenC de e aussi peu qu’on voudra, tandis que les facteurs • + “ Pt 5 coBvergont vers l’uniléi On peut donc encore écrire, dans le'
cas dp m fractionnaire,
Si l'on pose
