DES FONCTIONS DÉRIVÉE

Définitions.

^tl3. Soit un polynôme entier par rapport a x :

dans lequel les coefficients A, , A, *, A,,. . ., sont des quantités constantes

|=A,x" -I- [ntA.r" ' A-f- m(m— i) A,*’""’ —

F'(x) = mA.x"-' -|-(to — i)A,x"-*-l-(w — a ) A, x"-^ + . . . -t- A„,

48a COMPLÉMENT d’aloÉBRE.

l'obtenir de mullipher chaque terme de ce polynôme par lexposant de je dans çc terme} et de diminuer en même temps I exposant de x' d'une unité.

On voit facilement, en examinant les coefficients de — i. r» • • • ,

que chacun d’eux se déduit du précédent en appliquant la même règle. Il en résulte que le coefficient de est la dérivée de F' {x) ou la dérivée seconde de F(x) ; sa notation sera F'(x). De même, le coelTicicnt h'

de ^ est la dérivée de F"(x) ou la dérivée seconde de F'(x) ou la

dérivée troisième de F(x) : sa notation sera F"'(x), etc.

D’après cela, on pourra écrire {* ) ■' • ,

11 est facile de reconnaître, en effet, que F’"' ou la dérivée de F(x) est égale à 1.2.3. ..(m — i)m.A,, de sorte que le dernier terme du second membre, écrit comme nous l’avons indiqué, représente bien A, /i".

Il est très-important de remarquer que le degré de chaque deriit-e diminue d'une unité, c’est-à-dire que le polynôme proposé étant du degré m, sa dérivée première est du degré m — i , sa dérivée seconde du degré m — a, . . ., sa dérivée du degré /« — m ou o, de sorte qu’elle ne renferme plus x, et que les dérivées suivantes sont nalles ou n’existent pas. A chaque nouvelle dérivée, un coefficient de moins, parmi ceux du polynôme proposé, entre dans l’expression de la dérivée; et la demièro ou dérivée ne contient que lu coefficient A, du premier, terme du polynôme.

Si rôn a

C) D.ins la formule générale qu’on Tient d'obtenir, permutons x et A, puis ' romplaçnn!* h par a» quantité donnée. Nous aurons

Ce nouveau développement permettra de calculer rapidement le résultat de la substitution de x h- o à la place de x dans le polynôme F (x).

Cherchons ce que devient le polynôme 2x* — 7x* -4- 5x* -h 3x — i, quand on y remplace x par x -h 3. Il suffira de former les dinVrentes dérivées de ce polynôme, ri d’y faire x = 3. On aura ainsi

F'(3) = 6o, F"(3)=ino, F'"(3)=ioa, F”(3) = 48.

On a d’ailleurs

On pourra donc écrire

|-'(x4-3) = 26 -4- 60. r 4- ,')ox*

Digii-

Googk

il viendra

COMVLéMENT d’aLCÊBBE.

K'(.j ) =r 8 !•' — îi.r’ 4- lo.r 4- 3,

F"( jv) rr 24 .r* * — 4'A r -1- lO,

lli. De la relation générale (i), on peut déduire pris

par la fonction, lorsque la variable x subit elle-mérae V accroissement ou la variation positive ou négative A (*). De cette relation (t13), on tire en effet

On peut remarquer que, si l’accroissement h de la variable est trèspetit, l’accroissement [F(x-|- A) ~ 1a fonction sera lui-méme

très-petit, comme somme d’un nombre Jîni de quantités très-petites; et si le premier tend vers zéro, le second tendra aussi vers zéro. Ce qui montre que lorsque la variable x croit iPunc manière continue, toute fonctioif entière de x croit ePune manière continue.

Ceci posé, prenons, le rapport de l’accroissement de la fonction à l’accroissement de la variable : il suffit de diviser les deux membres de la relation (a) par A, et il viendra

. FCi I

X conservant une valeur fixe, faisons tendre A vers zéro. La limite du second membre et, par suite, celle du premier sera P (x).

Nous pouvons donc écrire

■ F'(x) = lim

Ce qui veut dire que la tlèricèe du /mlynAme F(x) est la limite du rapport de P accroissement de ce polynôme à C accroissement de la tHiriable dont il dépend, lorsque ce dernier accroissement converge vers zéro.

Cette nouvelle déCnition de la dérivée convient à une fonction continue quelconque de x, et nous dirons d’une 'manière générale que :

La dérivée rPiine fonction est la limite du rap/sort de P accroissement de la fonction à Paccroissement de la variable correspondflnte, lorsque celui-ci terni Tvrs zéro Ou, plus rapidement, la limite du rapport des accroissements imfiftiment petits correspondants de la fonction et de la variable.

La dérivée seconde d'une fonction est la dérivée de sa dérivée, la dérivée troisième est la dérivée de la dérivée seconde, et ainsi de suite.

ifb. Remarques — I. Ixirsque la fonction se réduit à la variable ellemême, l’accroissêmeni de la fonction est toujours ^1 à l’accroissement de la variable. Donc, la dérivée de la variable indépendante est Punité,

(•) Il fout bien faire (lUcnlion qii’cn mathrm.itiquos le* mot aceroit-rmitU est «iraplemcnt synonyme du mot variation dans iin sens ou dons Tanlrr.

484 COMPLÉMENT d'aLGÈBRE.

II. Si la fonction se réduit à une constante, on peut supposer à la variable tel accroissement qu'on voudra sans que la fonction en prenne aucun. Donc ia dérivée d’une constante est nécessairement nulle.

III. Lorsque deux fonctions sont constamment égales, leurs dérivées

sont égales. • ‘

Clauement des fonctions.

116. Il y a un nombre illimité de fonctions, puisque le nombre des questions qui peuvent leur donner naissance est lui-méme illimité. Mais si l’on partage les fonctions en fonctions simples et en fonctions complexes, on trouve que le nombre des premières est au contraire trés-restreint.

lies fonctions simples correspondent à toutes les opérations de calcul qui nous sont aujourtChui connues.

Elles sont au nombre de dix et se partagent en c/rn/ groupes, Comme l’indique le tableau suivant ; chaque groupe renferme une opération directe et son inverse. Nous désignons par x la vanablo indépendante, par y la fonction, par m une constante quelconque.

„ I Somme ( Différence 'Produit

Rapport i Puissaéce

i Racine

y =1 m'-i-<c, y = m ~x, y = mx , m

x=fx,

Fonction exponentielle = /h' ,

Fonction logarithmique v=logjr^

Fonction circulaire directe r = sin x ,

Fonction circulaire inverse y = arc (sin = x).

On donne aux six premières fonctions le nom de /o/icz/o/iy algébriques, et aux quatre dernières le nom àe fonctions transccmlantes, .

117. Les fonctions complexes sontde deux espèces. Ou bien, elles ont été obtenues en remplaçant dans les expressions précédentes la setde lettre x par une nouvelle fonction simple dépendante de x. On a alors une fonction de fonction. Si, par exemple, dans y = mx, on remplace x par sinx, il vient = m . sin x ; et l’on a une fonction où sont superposées les deux fonctions simples ; produit et sinus. De mémo, si dans cette nouvelle fonction on remplace encore x par log x, on a

y =r m . sin log X, ,

et la fonction de fonctions est formée alors par la superposition des trois fonctions simples : produit, sinus, logarithme.

Il est clair d'ailleurs qu’en effectuant les opérations indiquées, on. peut souvent convertir une fonction de fonctions ch fonction simple. Ainsi ( .r')‘ -- .j”, logrP xlog(7.-

COMPLÉMENT d'algèbre. 4^3

Los fonctions complexes de seconde espèce ou fonctions composées proprement dite^ s'obtiennent en remplaçant, dans les expressions du numéro précédent (116), les lettres m et x à la fois, soit par de nouvelles fonctions Simples, soit par des fonctions de fonctions toujours Gna- Jcment dépendantes de x. Les fonctions ^

. / = »isinx + logx, = (a + ix) (y/j — arcsinx) ,

sont des fonctions composées.

Nous commencerons par chercher les dérivées des dix fonctions simples (116), et nous montrerons ensuite comment la détermination des 'dérivées des fonctions complexes se ramène à celle des dérivées des fonctions simples.