DÉRIVÉES DES FONCTIONS SIMPLES
. 118. Pour trouver les dérivées de ces fonctions, nous suivrons la marche générale suivante. Nous ferons varier la variable et par suite la fonction, c'est-à-dire x et j-, en mettant en évidence leurs accroissements simultanés, que nous représenterons par Ax et L'équation sur laquelle
on opère permettra alors d'isoler dans le premier membre le rapport
En faisant converger dans le second membre et Ax vers zéro, on ob-
tiendra la limite du second membre, qui sera celle du rapport ^ ou la ‘dérivée cherchée (114).
Somme, différence, produit, rapport.
119. Soit/= m-hx. Supposons qu'on donne à x l'accroissement Ax, J recevra un accroissement correspondant A^; et l'on aura en vertu de- . la relation donnée , • ,
y + \jri=m + x + Ax,
' c'est-à-dire, puisque y — m + x, >.
A r = Ax ou = I.
Ax
Quel que soit Ax, l'accroissement de la fonction sera égal à l’àccroissc- *ment de la variole; donc, Ax convergeant vers zéro, il en sera de même
de ^y, mais le rapport ^ restera toujours égal à i. A la limite, pétant
la dérivée de la fonction on aura (HS)
On voit que, pour la fonction somme, la constante disparaît dans ïa dérivation.
. 120. Soit / = m — X. On aura de même
y -f- A/ :±: m — [x + Ax) — m — x — A.r,
d'où
A >■ TT — A.r et — TT — I . - •
486 CUMPLÉME^T UA1.GEBRE.
L’accruissement de la feuction est donc alors constamment égal et de signe contraire à celui de la variable ; ce qui signifie que la fonction diminue quand la variable augmente. On a à la limite
On voit que, pour la fonction" différeme, la constante disparait aussi dans la dérivation.
t2l. Soit y = nix. On aura
r =r /w(x -4- := inx -f- m^x,
d'où
Sy m\.T et = /«;
ce qui montre que l'accroissement de la fonction est constamment égal à l’accroissement de la variable, multiplié par m. convergeant vers icéro, il en est de même do A/; mais leur rapport reste constamment égal à /» ; de sorte qu’à la limite, y^ étant la dérivée de y, on a
Ainsi, pour la fonction produit, la constante ne disparait pas.
122. t?oit/ — — • Si .V reçoit l’accroissement Ax, / recevra l’accroissement correspondant A r, et l'on aura
