X -4- Ax

y étant constamment égal à — > on déduira de celle relation

c est-a-dire

ni ^

x-4-Ax X x(.r-f-Ax)’

. Ax x(x-(-Ax)

Si Ion fait converger Ax vers zéro, le premier membi;||Convergera vers.

— ffl

y', et le second membre vers l’expression — j- • On aura donc à la limite

La dérivée est précédée du signe moins, parce que, pour la fonction rapport comme pour la fonction diffcrcncc, la fonction diminue lorsque la variable augmente : c’est là un fait général.

' Pniasance et racine.

123. i' Exposant entier et positif. Soit *’ — .r'". On en dorluira ) t A * — (.r ^ ^x)",

tloù

CÜMP1.ÉMÇNT n ALGKBRE.

> -(- A/ = x" 4- ni.i-"' ' ^x' 4- ■

On peut supprimer dans les deux membres/- x", el en divisaul par ix, il viendra

», mit» — i) , .

> — = /Hx-”" 4 1 2x:””’àx 4-. . . .

Ax l.a

Dans le second membre de celle égalité „ le premier terme seuj ne contient pas A.r ; tous les autres renferment Ax ou des puissances suirérieures de Ax, Ax convergeant vers zéro, le premier membre convergera vers la dérivée /' de la fonction /; le second membre convergera vers mx"‘‘, puisque tous ses termes, sauf le premier, contiendront, outre des facteurs tinis, un facteur tendant vers zéro. A la limite, on aura donc

y= /njr""'.

Donc la dérivée diune puissance publient en diminuant Pexposanl d'une unité et en multipliant par Cexposant de la puissance primitive.

Il faut prouver que cette règle est générqje.

a® Exposant frartionnnire et positif. Soit ,r = x^. Élevons les deux membres de cette égalité à la puissance </. Nous aurons

Supposons que x reçoive un accroissement Ax, y recevra un accroissement correspondant A/, et il viendra

(/-f A/)'=(x4-Ax)c,

d'où, en supprimant dans les deux membres y — xf,

y>''^‘Ar4-

A/* -t- . . . = px^- ' Ax -

x4-’Ax’4-

On en déduit

+ Zl^V-’V4-...) = /.X- + A- .) •

A mesure que Ax conveige vers zéro, il en est do mémo de A/; do sorte que, y étant la dérivée de la fonction/, le second membre converge vers pjf-' et le premier y qy^'. A la limite, on aura donc

y <iy

d'où, en remarquant que = x’

il—')

COMPLÉMENT D ALGEBUE.

Si l’on suppose /> = i, on a

J=x’=v^x et

= ix ’ =•

qV^-'

.Supposons en particulier g = %. Nous aurons

= ^Jx et y — —

3° Exposant négatif. Soit/ = x'"= — • On en déduit

' I II x" — (x-t-Ax)”

= et x-(x-t-Ax)- '

d’où, en simplifiant et en divisant par Ax,

Ax

x"(x + Ax)"

Si Ax converge vers zéro, le rapport ^ converge vers la dérivée^, et

Ax

le second membre de réalité vers le rapport peut donc écrire

— nx""

A la limite, on .

Si l’on suppose en particulier « = i , on a

comme on l’aurait trouvé au n“ 122, en donnant à la constante m la valeur '’i .

Oiielle que soit* la nature de l'expoSant, qu’il soit entier ou fractionnaire, positif ou négatif, la règle pour trouver la dérivée de la puissance reste, d’après ce qui précède, toujours la même.

Fonction exponentielle.