Soit y= m". On aura

r*»- Av ,

don

A j'= — ni’ = ni‘ (m^’’ — i) Cl

^ y __ ni' {ni^ ~ i) Âx "" A.r

Ax étant une quantité très-petile, quelle que soit la quantité fmsitioc m, différera très-peu de i [ Àig. éU•m.,'iV^). On peut alors jioscr. en désignant par a une quantité positive ou négative qui tend vers zém

COMPLÉMENT d’ ALGÈBRE. 4^9

en même temps que ^x,

En prenant les logarithmes des deux membres de cette dernière égalité, Qn aura

A.rlogm= log(l -+-!*), d’où Ax = ~*l“l .

Par conséquent, puisque — i a, il viendra

rli‘ log in ^log(M-a)

Ax convergeant vers zéro, le premier membre converge vers la dérivée r' de la fonction proposée. Le numérateur du second membre reste invariable. Il

faut donc chercher vers quelle limite tend le dénominateur ilog(H-a),

Se

quand Ax ou a tend vers zéro.

Or i log(i -♦-«) revient à log (i-l-a)*. Il est évident que la limite do

ce logarithme est le logarithme de la limite de la quantité (i + a)‘, limite qui, d'après ce qui précède (111), est 1e nombre incommensurable e. On aura donc

^ log e *■ V

Cotte expression est tout à fait indépendante du système de logarithmes adopté, car nous savons que les logarithmes de deux nombres, . pris dans deux systèmes différents, forment un rapport constant (T. I, Note III).

Si l’on opère dans le système népt^rivn, on doit remplacer logm par I . m et log c par i . On a alors

Si la fonction proposée est en particulier j = c*, on a

puisqu'on doit remplacer m par c et que 1 .c est égal à i . Ainsi la dcritHC de ta fonction r* est celte fonction elle-même.

Fonction logarithmique.

14S. Soit y=: logx. On aura

V+ A,r'= log(x-(- Ax),

d’où »

!sy= log(x-{- Ax) - logx = log

Ax log|l +a) logwi

Il (Ml rosullp

COMPLEMENT D ALGEBKE.

4> 1 / lix\

X ayant une valeur déterminée, on peut |K>scr — = a, a étant une quantité qui converge vers zéro en même temps que Ax. On aura alors

Ax = ax,

et l'expression considérée deviendra

' ' 1 1 - A/ log(l -f- a) a log(i -4- g)” ^

Ax «X X X

Ax convergeant vers zéro, le premier membre converge vers la dérivée r' de la fonction le dénominateur du second membre demeure invariable, tandis que le numérateur tend vers loge, comme nous venons de le voir (124). On aura donc à la limite '

y loB<^

En se rappelant que loge représente le module M du système de logarithmes atlopté (.-llg. êtém., 2.V)), on peut encore écrire

Si l’on opère dans le système népérien, on a simplement

et la dérivée de la fonction est alors l'inverse de la variable.

Fonction circulaire directe.