Soit r=rsinx. On aura
L + A.y= sm(x-+-Ax),
d'où
. . , .A»- sin (.c -f A.r) — sinx
Al" = sinuc -t- A.r) — sinx et 1 : — ■ —
' Ax A.x
Mais ( Trt^., 26)
, ... / Ar\
sin(.r -f- Ax) — sin.c — -.ism — ens I x -)
COMPLÉMENT D LLCÈBRE.
On peut donc écrire’
Ar a / , Aj\
7^ = -7 cos I X H ) •
Ax Ax’ \ av/
sm •
Ax
Si l’on fait converger Ax vers zéro, le rapport - converge vers
l'unité (Trig., 31), et cjjs ^x + limite
vers cos x. On aura donc à la Fonction circnlaire inversé.
y = cosx.
Lu dérivée du sinus est donc le cosinus.
127. Soit y = arc sin x, ce qu’on doit lire ; y égale F are dont le sinus est X. A un même sinus, correspondent une infinité d’arcs (Trig., 7); mais nous n’entcmlons parler que de Parc positi f et plus^tit qu'un quadrant, qui a X pour sinus. ~
Si y est l’arc dont le sinus est x, on peut écrire
X = sin/.
Si l’on regarde alors x comme la fonction et y comme la variable, on aura (126)
d’où
Ax
lim — = cos ) , A^-
, Ar I lim = — -• A X cos )•
Mais puisque x = sin > , on a
cos> = — sin’/ = ^ I — x’ .
Il viendra donc enfin
moindre que - > sou cosinus est positif.
3. Nous venons de trouver les dérivées des dix fonctions simples
, ^ '^primitives. Il en est d’autres qu'on peut regarder également comme sim- --pies, mais qui rentrent dans les précédentes, comme nous le verrons on '^traitant des dérivées des fonctions complexes. Voici le tableau des résulw »'lats obtenus jusqu’ici. Nous le reproduirons à la fin de ce chapitre, en le ■*^'complctant par l'indication des dérivées qu’il est essentiel de savoir par canir.
COMPLÉMENT d'ALCÈBRC.
Dérivées des fonctions simples primitives.
/ = m 4- X, . / = I , y = m — x, y = —\, y = mx, y = m,
, J »r‘logm . , J - J
, , loge M 1 J '
^ = logx, y;= = -J, 7 = l.x, y=-i
j^=sinx, y = cosx,
r = arcsmx, r= .
*r Dérivées des fonctions de fonctions.'
129. Soit .r = F(tt), 11 représentant une fonction /(x) de x qui est la variable indépendante. On aura
les caractéristiques F et /indiquant les opérations superposées (117). Il s’agit de trouver la dérivée y de la fonction y par rapport à x.
Si l’on donne à x un accroissement Ax, il en résultera pour u=f(x) un accroissement Am et. pour x = F (u), un accroissement ^y. Or l’on a identiquement
Ar Am . Ax ~ Am Ax
La limite d’un produit est le produit des limites des facteurs (Gêom.,i3i ). Quand Ax tend vers zéro, il en est de même de Am et, par suite, de ^y. À Y
■ La limite du rapport quand Ax tend vers zéro, est / ; la limite du
rapport — quand Am tend vers zéro, est F'(h); enfin, la limite du rap- ^ port ^ quand Ax tend vers zéro, est/'{.r) ou m'. On aura donc
Soit encore c’est-à-dire
A l'arcroisscmont Ax correspondront les arcroissemcnls Am, Aé' Arj."
COMPLÉMENT D ÂLGÈBRE.
et l'on aura comme précédemment
Av A/ Am Au • Ax ~ Am Au Ax
Ën'passant à la limite, il viendra
On voit donc que la déAvée d’une fonction de fonctions est égale au produit des dérivées tles fonctions simples qui la composent, chaque dérivée devant être prise par rapport à la variable dont la fonction correspondante dépend immédiatement.
Cette règle montre que les dérivées dps fonctions simples se superposent pour former la dérivée de la fonction de fonctions, comme ces fonctions simples elles-mêmes pour former la fonction considérée.
