Exemples
1° Soit 7 = cosx. On peut remplacer cos x par sin , et
garder alors / comme une fonction de fonction. Si l'on pose
re-
on a
d'ou (126)
rr
y sm «, y = cos H . a’.
De - — X = « on déduit d'ailleurs «' = — 1 (120). Par conséquent.
y = - cos (^ - x) =
sin X.
La dérivée du cosinus est donc égale au sinus pris en signe contraire.
a” Soit r = sécx = — ^ • Posons cosx - «, U viendra ' cosx
et nous pourrons appliquer le théorème des fonctions de fonctions. On aura (122)
Hais tt' — — sinx, d'après ce qu'on vient de voir (1°). Donc
, sinx .r"= — y--
3® Soit r = cosécx = — • Posons sinx = //, il viendra
Sinx
COMPLÉMENT' d'aLGÈBHE.
d’où
Mais u' = cosx. Par suite,
. ros.r • sin’x
4“ Soit v= logsiiM-. Posons sinj = u. Il viendra lc^«, d’où (125)
On a
Par suite,
u’ =z cosa:.
, lOC^COSJ* ,
y = — = loge . cotx.
sin X ®
5“ De meme, pour / = logeosx, on posera cosx = u. Il viendra
r = >og«.
d’où On a
et fiar suite,
y=l2iî.«'.
Il = ~ 8in.r,
, logesinx ,
/ = — = — loge . tangx.
cosx
6” Soit J = ( logx)". Posons logx = n. Nous aurons
d’où
et '
loge
Par suite.
, /«loge, (logx)" ' . ' .
7” Soit encore J =
sin‘x’. Posons
x’=« et sin«=re, • •
il viendra
r = e*, d’où y'=4i^.(>'. ' .
Mais
i>'=C08u.u' et n'=ax. . ■* ..a'*
Par conséquent.
y' = Sxsin’x^cosx*.
A propos dç cet exemple, il faut bien remarquer que, comme nous l’avons déjà dit (129), chaque signe d’opération correspond à une fonction particulière. L’exposant a de la variable x conduit à une première fonction
COMPLÊMEMT u'algÈBKE. * 49^
x' = U, le signe sinus à une seconde fonction v , l'exposant 4 superposé au signe sinus à une nouvelle et dernière fonction ou y.
Quand on a pris un peu d’habitude, on opère plus rapidement en décomposant les fonctions par la pensée, sans employer de lettres auxiliaires.
8° Soit, comme dernier exemple, y = c* . On posera
On aura alors .
= V et = U,
d’où, en opérant dans le système népérien,
On a d’ailleurs
d’où v'=e“u‘, enlin n'=e‘.
En substituant, il viendra
ce qu’on aurait pu écrire immédiatement, en appliquant la formule générale (129)
Dérivées des fonctions inverses.
131. Nous avons fait au n° 127 usage d’une méthode que nous devons généraliser avant d’aller plus loin.
Supposons qu’on ait^= F(x). En résolvant cette équation par rapport à X, on en déduira x = <f caractérisant une autre fonction qui pourra être plus facile à dériver que la fonction F. Les deux fonctions F et Ÿ sont dites inverses l’une de l’autre.
Les deux équations considérées n’étant que deux formes différentes d’une même relation, si l’on donne é x un accroissement èx, prendra dans toutes les deux le même accroissement à/; c’est-à-dire que, do
toutes les deux, on tirera le même ^ • Or on aura
y = lim ^ = — , = — ; ou r’ == .
• . Hm ^ ^ V (J-) Ÿ [*'(■*•)]•
^ Ainsi, au n° 127, nous avions
y = arc sin .r , d’où .r = sinr et x' = 9' (r ) = cos/.
Par conséquent,
coB.r cos (arc sin x) y/,
