Exemplrs

I" Soit r = H 4- h • On aura immédiatement (123, 122) :

•t. \fx

•k" Soit y = lof; V.r-t- v'T4-.r-.

Nous appliquerons à la fois le théorème des fonctions de fonctions et le théorème relatif à la dérivée d’une somme.

Nous poserons

d'où r=logH et .r' =

loe

Mais si l’on jiose

on aura

H=y/s et H'=r—

ay/j

On voit par là que, pour avoir la dérivée d’un radical du second degré, il faut prendre la dérivée de la quantité qu'il recouvre, et (fiviser par a fois le radical. C’est là une remarque générale. Toutes les règles trouvées /mur la dérivation des fonctions sim/des s' ap/dit/uent an.r fonctions eorn/msées soumises nu signe rarm téristir/ue tC une fonction sim/de. Seulement, la dérivée tic ta variable x, qui est i , doit être /mrtout lem/dntée par la dérivée de la fonction coni/msée subordonnée . •

D’après ce qii on vient de dire, on écrira immédiatement

Si X n'était pas la variable indépendante, il faudrait multiplier — ---- —

par y, et continuer le calcul. Ici, x étant la variable indé|>endanto, x' est égale à i. En remplaçant de proche en proche, il viendra

, loge.//' loge.?' loge (yé i -j-x’-t-x)

" a(x-t- yé i4-x’) y'i + x’

c'est-à-dire

loge

ayér+Tr»

COMPLÉMF.KT u'aLCÈBRE.

Dérivée d'un produit.

13.%. Soient d'abord h et i’ deux fonctions de.r, et supposons qu’on ait

/ = uv. ,

A un accroissement Ax donné à la variable correspondront les accroissements simultanés Ae, A/. On aura donc

r + Ar= («-(-Au)(p-t-Ae).

Kll'ectuons la multiplication indiquée dans le second membre, et supprimons dans les deux membres / = uv. Il \iendra

On en déduit • . •

A^ Ap Aj Ax

A » Au.

Ax A.r

Quand Ax tend vers zéro, il en est de même des quantités An, A p, A r ; de sorte que les rapports ~ t tendent simultanément vers les

dérivées n', p', /', des fonctions n, p, /. A la limite, le terme ^ Ap devient donc u' X O, c’est-à-dire disparait, et il reste simplement /' = uv' vu'.

La dérivée d’un produit de deux facteurs est donc égale à ta somme de. s produits qu'on obtient en multipliant clutque facteur par la dérivée de Pautre.

Si l’un des facteurs v est nul, sa dérivée p'est nulle (ll.’J, II), et l'on a

y' = vu',

ce qui ramène à la remarque du n° 121 .

La règle donnée est générale. Soit /= uvt. En considérant le produit uv comme un seul facteur, on aura

y = (,„’)t' -h t {uv)'.

D’après ce qui précède, on a

( uv y = uv' vu'.

En substituant, on aura donc

y = uvt' -i-utv' -4- vtu'.

Donc la dérivée du produit d'un nombre quelconque de facteurs, r.st égale à bt somme des proiluits qu’on obtient en midtipliant la dérivée de cluique facteur par le prorluit de tous tes antres.