X -- cot

d’où

x' = ^4 — et y =r — sin’ V = — sin’ [ arc cot x ) .

sm’r • ' '

c’est-à-dire

car le sinus de l’arc dont la cotangento est x, est égal à ■

a" Soit encore

Nous poserons

et

r = log

n + /;x « — hx

U -4- bx n — hx

— II, d’où /—logo

On Hiira

COMl-I-ÉMENT I)’ AI.GÈBIIE.

, h (il — b.c ) — (—/>)(«-!- b.c ) 7 nb

" ~ (rt — b.v , (</—/«./■)■

l'<ir ruiiséiiueiil

X ^ loj; log (• . —, 7^ .

Il . Il — b^j'

Théorème général relatif aux fonctione composées.

1;ü). Soit une roiu'liun de deux variables F(/f, i'). Si regardant r comnie une r.onslante, on prend la dérivée de la fonrliun par rapport à h, on obtient lu di-nvée parlivllf ili:' lu jonction pur rnpport ti n.

De même, si regardant « eomnie une constante, on prend ladérivér; de la fonction par rapport à e, on obtient In ilcriccv pnrticllr de In fonction pur rnpport ti i>. On indi((ucra ces deu.v. dérivées partielles i>ar U» nota lions

Ceci posé, admettons que cbaciiiu* des variables n et c soit une loue lion de x, et qu'on ait

> si'ra une fonction de x, dont on clicrclie la denviie. x recevant un accroissement A.t, ji, •> et i |>rendront les accroissements simultanés Ah, Al’, A», et l'on aura

d oii

) 4- A V = F(h 4- Ah, i’4-Ac),

A )- — ( H q Au, c q Ae) — F(h, I’).

On peut ajouter au .second membre et en retrancher la quantité F' (h, e 4- Ae)

obtenue en regardant fictivement tt comme une constante dans la fonction propo.séc. Il viendra

A J ^ f F (h 4- Ah, I>q- Ae) — F (h, e4- Ae)] 4- [F (h, eq- Ae) — F(rt, e)].

A la limite, comme Ae disparait, on peut considérer la première dilTéi-ence du second membre comme raccrois-sement inriniment petit pris par la fonction, lorsqu’on y fait varier seulement h; et la seconde différence comme l'accroissement infiniment petit reçu i>ar la fonction, quand on y fait varier seulement e. On est ainsi conduit à éi’rire, en introduisant A.r ,

A4 F ( H 4- Ah, eq- Ae ) — F (h, e 4- Ae) Ah

A.r ^ Ah A.?'

, F(H,i’4-Ae) — F(u,e) Ae

Si Ax converge veis /aii'o, il en est de mémo de Ah, Ae, Aq. Les lap

Ah Ae A) . , , , 1 , ,

ports ^ ^ ■'hn'S pour limilt's h , e , > Le rapport

F ( H 4 - A H , e 4- A c ) — F ( H , e 4- A e ) Ah

U puur limite

COMPXÉMEKT d'àLGÈBHK.

puisque c’est cuinmé si l'on faisait seulement varier u dans la functiun F ( «, V -F il') qui se réduit en réalité à F ( «, e). De même, le rapport

a pour limite On aura donc

F (h, c +ic ) — F( u, e)

JZ

ou, plus simplement,

On arrive donc à ce théorème, qui peut s'appliquer à un nombre quelconque do variables et qui est fondamental. La ciérivée (T une fondiou comiMsée rat égale à la somme de scs dérivées jtartiellcs par rapport à toutes les variables ipd y entrent tFune manière explicite, elmquc dérivée partielle devant être multipliée par la dérivée de la variable correspondante /sar rapfsort à la variable indépendante .

140. Les théorèmes démontrés précédemment (133, 133, 137) relativement aux dérivées d’une somme, d’un produit, d’un quotient, sont des cas particuliers de ce théorème général.

Ainsi

donne immédiatement

y = F'„ . a' -4- F', . V -+- F', . t' = a' + v' — t‘, parce qu'on a dans ce cas

De même, donne

r = avt

' = F „ . it‘ -f- F',, v' + F', . t' = u' vt -I- c' U/ -t- r ' uv ,

puice que la dérivée partielle par rapport à u est égale au coefUciont vi regardé comme une constante, etc.

1 11 . Exemples :

i" Soit la fonction

On aura

• cest-à-dire

, , , . log.«

loge

\u loge J

Si la fonction est. |Kir exemple,

COMPLÉMKrkT u’AI.<;kBnF,.

on a

»’ = jé

ï" Soit la fonction

y ~ log

(>n posera

d'où

.»■ = log 7, =

- log U — log c.

On aura

D ailleurs

- , xr

donc

On peut donc écrire

>•' = loc r . u' ( i - \«

- - 1 = iogf . m' . ! ^

V/ " nv

ce qui conduit à

Dérivées des fonctions implicites.

142. Supposons une équation entre la fonction » et la variable x. En résolvant l’équation par rap^tort à /, on obtiendrait dans le second membre une fonction de .r, dont on saurait trouver la dérivée d’après lo.s règles précédentes. Mais souvent on ne peut résoudre l’équation par rap- (lort à r. Il est facile alors, en appliquant le théorème général des fonctions composées f139), de trouver la dérivée de la fonction r; seulement, elle ost dans ce cas exprimée généralement en x et en r à la fois, ce qui N'empècho pas sa connaissance d’élre très-utile dans un grand nombre de questions.

Tous les termes étant réunis dans le premier membre, soit donc l'équation

F(j:,/)=ro.

} est alors une fonction implicite de x. Comme les deux membres de l’équation donnée doivent être constamment égaux, leurs dérivées doivent être égales, c'est-à-dire que la dérivée du premier membre est égale à zéro. En appliquant le tliéorème fondamental, on aura donc, dans cette hypothèse particulière,

X étant la variable indépendante, on a .c' = i, et l'on déduit du ré-

sultiil trouvé ■

COMPLÉMENT 1)'alGÉBI\E.

Donc lu dcrivt‘1- tfit/if Juiu lnni implicUr est df^ulv au ijuotient de la dérivée juirlielle iiar ra/jjiort à la variable imiépendaute, divisée par la dérivée partielle par rap/mrt h la Jiiaelioa, ce ijuoticnt étant pris en signa rontrnire.

I 13. Eve tapies ■; ‘

Soit l’ét^uation génénile du s(!cond deftré

On Ultra d'on

Soit

On uuru d'où

3“ Soit encore On aura

A v’ -t- Bj;v V C.r’ -V I) V -t- K jr -H F = o.

K'^ = B / 4- -aC a: 4- K,

B I 4- aC-r 4- K