CHAPITRE III
APPLICATIONS DK LA IHÉORIK DES DÉRIVÉES.
Étude des variations des fonctions, maximums et minimums.
1 i5. Soit une fonction continue r = F (x). D'après ce qui précède (1 1 4), on peut poser
Ax
F’(.rj-t-a,
3t étant une quantité qui converge vers zéro en meme temps que i.i-, de sorte qu'é la limite l'équation posée devient l'identité v'=F'(.r).
On a donc
iy = ixfF'(x)y ïj. »
Siqiposons ipie la variable indépendante x aille en croissant k partir
Difjiti.’’”- bv Coogic
COMPLÉMENT d'.VLCÈBRE. 5o^
d’une certaine valeur, c’est-à-dire supposons l’accroissement Sx positif. A mesure que A.r diminuera, il en sera de même de a. F'{ j), qui a une valeur déterminée, finira toujours par surpasser « en valeur absolue, c’est-à-dire par donner son signe à la parenthèse. A v, ou Farcroissenient de la fonction, aura donc le signe de la dérrn-e de cette jonction.
Si la dérivée est positive, la Jjfhction est croissante ; si la déniée est négative, la fonction est décroissante.
i 46. Lorsque la fonction considérée atteint un maximum', elle diminue apres avoir augmenté : sa dérivée, d’abord positive, devient négative. Lorsque la fonction considérée atteint un minimum, elle augmente après avoir diminué ; sa dérivée, d’abord négative, devient positive (^Ig. élém., 218).
.Ainsi, aux maximums ou aux minimums de la fonction, correspondent les passages de sa dérivée du positif au négatif ou du négatif au positif ; mais la dérivée d’une fonction continue étant elle-même en général une fonction continue, ne peut changer de signe q’u’en passant par zéro, limite commune des valeurs positives et négatives.
Par suite, les valeurs de la variable indépendante x qui rendent la fonction correspondante un maximum ou un minimum, sont précisément celles qui annulent la fonction dérivée.
Il y, a MAXIMUM ixmr une certaine videur de x si, les valeurs plus petites rendant la dérivée positive, les valeurs plus grandes rendent la dérivée négative.
Il y a MINIMUM pour une certaine valeur de x si, les valeurs plus petites rendant la dérivée négative, les valeurs plus grandes rendent la dérivée positive.
. ün peut remarquer aussi que, (mur le maximum, la dérivée passant du positif au négatif f/cenwï, de sorte que la dérivée de la dérivée ou F”(x) doit être négative.
Pour le minimum, la dérivée passant du négatif au positif croit, de sorte que F"(x) doit être positive.
Nous laissons de côté les cas particuliers qui peuvent se présenter, et nous allons appliquer à quelques exemples les considérations qui précèdent.
147. 1“ Les variables x et y étant liées par la relation x-{-y— a, on demande jxmr quelles valeurs des variables la somme x"-yy" est un ma.cimum ou un minimum.
11 faut chercher la dérivée de la fonction x“ -i- >■“ et l’égaler à zéro (146). y étant fonction de x, celte dérivée sera { 139) : >
mx"~' my”~' y'.
On a d'ailleurs, en vertu de la relation x -i-y = <7, — i. Il viendra
donc
dim
m.iri ' — mf ' = O,
.r«-' =T >'«-• et
f'iiivant que x est < ou > - i F’ est négative ou positive. Donc ~ -
Digilized by Googic
5o8 I.OMPLÉMKNT n ALOFIBRE.
rurrespoiul à un ininimiimAhi ÿupjMise ici m — i ',:> o. Si l'on avait m — i < o,
r ;r - corrosiiüiiurait au contraire a un iiin.rimitni.
148. ï“ J^‘s viiriiibU's x rt i’ ctunt liées j»tr ta relation x-h.T— <>, on ilainanile jxmr ijiiellcs valeurs des varirltles le /iroduit .r" >■* est un ma.rirnum ou un minimum.
La dérivée do la fonction est ici, en appliquant le théorème des fonctions composées et en rc}i;ardanl x comme lu variable indépendante;
On a d'ailleurs r' ==: — I , en vertu de la relation .r-4r.r=o. l.'éijuation qui donnera les valeurs de x qu'on cherche sera donc
nuf ' (rt — a )’ — nx"‘{a — j-)""' = o ;
ce ipi ou jicut écrire
.J-"-' {a — a-)" ' [/« {a — a') — nx | = o ou
,r" ‘ (rt — a )"'*' [rt/« — (rt/-|- rt)a-J =■ o.
Otte équation se partage immédiatement en trois autres, cpii donnent
