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Ni N

nn

Considérons la valeur x = Pour des valeurs moindres, la dèi i\w

de la fonction considérée est positive; pour des valeurs plus grandes, elle est négative. Par conséquent, la valeur x — correspond à un maxi-

mum i|ui est m‘“ id

Considérons la valeur x = o. Si m et n sont tous deux /mirs, les valeurs plus petites de x rendent la dérivée négative, Iw valeurs plus grandes la rendent (lositive. Donc la valeur x = o correspond à un minimum. Il en est de meme de la valeur x = a.

Si l’on sup|iose m =r «, le maximum correspond à .r= v

rt

I P.l. 3“ Chrrrhrr le nombre x dont lu racine x est un maximum.

La fonction dont il faut chercher le maximum est — y'-»'. Un en déduit

) = .rx et log V — logx.

Kn prenant la dérivée, il vient (Lii)

loge , 1 loge log.i'

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ei^MPl.ÉMENT D ALRÈBRE.

cVsl-à-dire

2- /log^- — \

logc-V x’ A

Pour que r' soit nulle, il faut donc qu’on ait

loge— logx = o ou x = e.

Pour une valeur plus petite de x, la dérivée est positive; pour une valeur plus grande, elle est négative. Le nombre demandé est donc la base des logarithmes ntqiériens. .

150. 4° Etiulier lu marrhe de tri fonction y — ,r — lügar, lor\cfnc x varie de o h rinfini /xmtif.

Prenons la dérivée do la fonction. Il viendra

Pour X = O, on a

lo*’ €

A mesure que x augmente) — ^ diminue, et,»' reste négative jusqu'à ce i(u’on atteigne la valeur de x pour laquelle on a

c’est-aKiiro

X log e.

Au delà de cette valeur, ,i ' devient positive et croit jusqu’à la valeur I pour J) = » .

I.a fonction > part donc de -)- » pour .r = o { j^lg. élém., 217), diminue jusqu’à son minimum, qui correspond à x = loge, et augmente ensuite jusqu’à une valeur infinie pour x =: » , un nombre trés-granil étant beaucoup plus grand ((ue son logarithme (ivu'r 1,56).

151. Etant rtnnnés un cercle O et une hase BC — n, trnueer te triangle ABC construit sur cette base et circonscrit au cercle, dont faire est un minimum.

Désignons BD pur x, le rayon OD par r, le périmètre du triangle par ip, et sa surface par ». Nous aurons ( Trig., 58)

•Mais

AK:^ AK et

a AE = »/) — n — x— {a — x) = a/» — a«,

(on a évidemment BE == BD = x, CD = C.K = o — x); par conséquent

AF. = P- a.

Ain aura donc

h z= a — x-t-/> — rt — P — X, c = .c ri- P — a.

5 10 CüMPLÉMEWT D ALGfeBnç.

On peut écrire d’apres cela

f = px[p — n)(n — x).

On a d’ailleurs (Grom., 139)

Y = pr, d’où P Il viendra donc, en substituant, r*=:

r* r = x(,r — nr) {a — x) .

d’ou

On en déduit

rV

y — ar

Prenons la dérivée, nous aurons

P y (r — nr) — y -r* y

c’est-à-dire

— nr' .y

^ = n — ix.

( r — nry

Pour que y soit nulle, il faut qu’on ait

a — IX = O

Dans ce cas, l> = c, et le triangle circonscrit est isocèle,

X = “ correspond bien à un minimum; car, pour x < la valeur d(*

y est négative, et elle est positive pour ~ ’

152. 6° Qnel est le segment sphérique maximum, /mrmi tous 1rs segments sphériques terminés par des zones à une seule base de surface constante ?

Désignons par x le rayon de la sphère dont fait partie le segment cherché et par v sa hauteur ; comme il est à une seule base, z étant son volume, on aura (Génm., 28-i)

z'=lny{ix-x).

Si la surface constante de la zone correspondante est représentée par wo’. on a en outre

On en déduit

ITX.X =z

ou 1XY — n‘.

CUMPUvMKNT U ALGIlBRE.

el la valeur de z devient

n rt’ r ’ â 3~

En prenant la dérivée, il viendra