RETOUR A LA FONCTION PRIMITIVE — APPLICATIONS
157. Il est facile de voir d’abord que ileux fonctions t/ui ont des dérivées égales ne peuvent différer que par une constante.
En effet, soit F (x) une fonction dont la dérivée est constamment nulle : je dis que cette fonction se réduit à une constante. On a d’une manière générale (145)
F(x-+-Ax) — F(x) = éx[F' (.r) 4- aj.
Si F' est constamment nulle, il restera
F (x + Ax) — F(x) = Ax . a.
Partageons A x en «. parties égales à lî ; a, , a, , a, , . . . , étant des quan tités (pii convergent vers zéro en même temps que J, nous pourrons écrire la suite d'égalités
F(x-l-aô) — F (x-i-iî) = iî.a,,
COMPLéMENT D'ALGiBRE.
Si on les ajoute membre à membre, il vient :
F(J-|- nJ) — F (x) = J |a, + + otj.
Soit K la plus grande des quantités a,, a,, a^, ... ; on aura
F(x+Ax) — F(.r) <n^.E ou <Ax.E.
En laissant & x constant, si l'on multiplie le nombre n do ses parties, S diminuera de plus en plus, ainsi que les quantités a, , a, , a, , . . . , et, par conséquent, ainsi que la plus grande d’entre elles E. La dilTérence F (x 4- éx ) — F ( X j.é^t donc moindre qu’un produit qui converge vers zéro et qui en approche. autant qu’on veut, cette différence est donc nécessairement nulle ; et là fonction proposée conservant toujours la même valeur, est une constanit: '
D’après cela, deux fonctions ayant des dérivées égales, ont pour dérivée de leur différence ja di^Eéfenra de leurs dérivées, c’est-à-dire zéro. La dérivée de leur différence étant zéro, cette différence est une constante ; c’est ce que nous voulions établir.
1158. Ceci posé, on appelle fonction primitive iTunc fonction donnée, toute fonction qui a poiir dérivée la fonction proposée.
Quand on donne une fonction, sa dérivée est complètement déterminée. Le problème inverse admet au contraire, d'après ce.qu’on vient de dire, une infinité de solutions, En effet, si F(x) est l’une dos fonctions primitives de/(x), toutes les fonctions primitives de f(.r) seront renfermées dan-s la formule générale
C désignant une constante tout à fait arbitraire.
Le plus souvent, les conditions de la question particulière qu'on aura en vue de résoudre, permettront de déterminer la constante. Si l'on sait, par exemple, quelle valeur. M la fonction primitive générale doit prendre pour une certaine valeur m de la variable indépendante x, on aura
■ F(/n) -4- C = M, d’où C = M — F(w).
Si l’on a M = o, par exemple, on a C = — F ( m ), et la fonction primitive déterminéé eslF{xJ — F(/n).
1S9. Le tableau général des dérivées (144) permet de revenir immédiatement à la fonction primitive, dans les cas simples.
■ Soit la fonction sa dérivée est (m-f- i)x". Il en résulte que la
puissance x" a pour fonction primitive j 4- C : ce qu’on reconnaît
d’ailleurs immédiatement par la dérivation. Donc, p>ur avoir la fonction primitive d’une puissance (sauf la constante), on augmente Pexposnnt d’une unité, et Pon divise par Pexpasant ainsi modifié, ün trouvera facilement, d’après cette règle, la fonction primitive d’un polynôme entier tel que
5l6 COMPLÉMENT d’ ALGÈBRE.
Cette fonction primitive sera
La même règle s'applique évidemment aux exposants quelconques.
160. Nous désignerons dans le tableau suivant la fonction proposée par /( a:), et la fonction primitive par F(x). On a d’après ce qui précède (IW) :
F (x) = 5X* -4-C = ^ xy/x-4- C,
f(x) = ni’.
F(x) =j!^/n'-t-C, ' Jogw
F(x) = '°^'^ + C = /^r + C., ''loge »-
f(x) = sinx,
F (x) = — cosx + 0,
/(x) = cosx,
F (x) = sinx -t- C,
F(x) = tangx4-C,
fix] = — ^ = tangxsec.r,
F(x) — sécx + C,
/(x) = -^4— = 1 + cot’x,
F(x) = — cotx + C,
/( x) = = cotxcosécx,
' ' sin’x ’
F(x) = — coséex-t-C,
F (x) = arcsinx-|-C,
F(x) = arccosx-4-C,
F(x) = arctangx + C,
F(x) = arccotx-t-C,
F (x) = areséex + C.
F{x) = arccosécx-l-C.
161. Le théorème relatif aux fonctions de fonctions (129) permet souvent d'obtenir la fonction primitive.
COMPLÉMENT d’aLGÈBRE.
Si l’on a/(j.-) =
comme la dérivée d’un logarithme conserve
la fonction intacte en dénominateur, et que la dérivée do la variable indépendante est l'unité, on peut écrire
ou
De même, de
F (jt) — a) -|- C
loge
on déduira
{p-t){x+uy-
Si l’on donne
on pourra écrire, en divisant haut et bas par a',
Remarquons alors que si l’on a / = arc tanga, u étant une fonction de or, il vient
D’après cela, - étant précisément la dérivée de - 1 on a pour la fonction
primitive de f{x)
F(x) = arctang ^^^-|-C.
102. Souvent aussi, en simplifiant d’abord l'expression proposée ou en la transformant, on arrive ensuite immédiatement à la fonction primitive. Soit
r, V — aj -+-■ 5 f(x)
En effectuant la division, on trouve
Par suite,
Si l’on a
F(x)=^ + i:-x-*-4.!2ii^+C.
''3a ^ loge
/(x) == sin’x.
CUMPLÉMBNT d'algèbre.
