II. I

GÉOM^.THIB.

On voit que les volumes des corps sont séparés de l’espace environnanl par des surfaces.

De même, si l’on considère un rectangle, et si l’on suppose que sa base devienne très-petite, de manière à pouvoir être négligée à côté de sa hauteur', on passera, lorsque la base sera devenue aussi petite qu’on peut le supposer, de l’idée de surface à l’idée de ligne.

On voit que les surfaces sont limitées par les lignes, comme les volumes le sont par les surfaces.

Enfin, étant donnée une ligne quelconque, si sa longueur diminue de manière à devenir plus petite que tout ce qu’on voudra, on passera de l’idée de ligne à l’idée de point. Un point indique seulement une position dans l’espace.

La génération des éléments géométriques aura lieu en sens inverse. -Le point, dans son mouvement, engendre une ligne ; la ligne, dans son mouvement, engendre une surface ; la surface, dans son mouvement, engendre un volume.

Deux lignes se coupent suivant un point, deux surfaces suivant une ligne; deux volumes se coupent ou se pénètrent suivant une surface.

3. La plus simple de toutes les lignes est la ligne droite. Elle est décrite par un point qui, dans son mouvement, terul constamment vers un seul et même point.

Il en résulte immédiatement que le plus court chemin d’un point A à un point B est la ligne droite AB menée entre ces Fig. deux points (fg. i). Il

en résulte aussi que deux c A L D* points suffisent pour dé-

terminer une droite : dès lors, deux droites AB et CD qui ont deux points communs coïncident dans toute leur étendue, c’est-à-dire quelque loin qu’on les suppose prolongées vers la droite ou vers la gauche.

Une ligne brisée est décrite par un point qui, dans son mou- Fi|j. 7.. venient, change de temps en

temps de direction. Ce point décrit alors [Jig. 2 ) des portions de lignes droites AB, BC, CD, dont les directions varient et qui ont ^ pour points communs successifs

les points B, C, où le changement de direction s’opère.

Fig. s. Une ligne courlre est décrite par

le. mouvement d'un point qui change à chaque instant de direction. On peut ta regarder alors comme une ligne brisée composée d'une infinité d’éléments rectilignes

DiQÎtiZcCÎ uy CjOOgïC

GÉOMÉTBIE.

infiniment petits [fig- 3). Et celle définition est importante en ce qu’elle permet d’étendre immédiatement, avec Leibnitz, toutes les propriétés des lignes brisées aux lignes courbes, lorsque ces propriétés ne dépendent ni de la grandeur ni du nombre des côtés de la ligne brisée.

4. On entend par surface plane ou plan une surface telle, que, dès qu’une ligne droite y a deux points, elle y est contenue tout entière. Nous prouverons plus loin que deux plans cotnciiient dès qu’ils ont trois points communs.

On divise la géométrie en géométrie plane et géométrie dans l’espace. La géométrie plane traite des -figures qu’on peut tracer sur un plan ; la géométrie dans l’espace traite des -figures dont les éléments sont disposés d’une manière quelconque.

5. Deux figures qui peuvent se superposer ou pénétrer exactement l’une dans l’autre, c’est-à-dire deux figures qui peuvent coïncider, sont dites égales. Deux longueurs qui renferment le même nombre d’unités de longueur, deux surfaces qui renferment le même nombre d’unités superficiefles, deux volumes qui renferment le même nombre d’unités de volume, sans que leur coïncidence soit possible, sont dits équivalents.

0. Le but de la géométrie est la mesure de l’étendue. Mais il est utile de préciser cette définition.

On ne peut mesurer directement que les lignes droites, en portant sur celles qu’on considère l’unité de longueur autant de * fois que possible. Et encore cette mesure directe n’est pas possible dans un très-grand nombre de cas [distance d’un point à un point inaccessible, distance de deux points inaccessibles, etc.). On ne peut pas mesurer directement les lignes courbes. 11 en est de même pour les surfaces cl les volumes ; on ramène leur évaluation à celle de certaines lignes droites qui ont une liaison déterminée avec la surface ou le volume considéré.

Si l’on veut donner une idée juste de la géométrie, il faut donc dire que la géométrie a pour but de mesurer l’étendue, en ramenant toutes les mesures quelconques à la mesuiv directe de certaines lignes droites choisies convenablement dansr chaque cas. Toutes les propriétés démontrées successivement dans un Traité de Géométrie concourent au but que nous indiquons.

7. Toute proposition consiste dans une hypothèse et une conclusion qui en découle. La démonstration de la proposition est la suite des raisonnements qu’il faut faire pour passer de

-1 , Cooglt

GÉOMÉTRIE

riijpolhèsc à la conclusion, en s’appuyant sur des vérités évidentes ou déjà démontrées.

Une proposition étant donnée, si l’on adopte à la fois une hypothèse contraire et une conclusion contraire, on énoncera la proposition contraire. On énoncera la proposition réciproque, en prenant la conclusion pour hypothèse et l’hypothèse pour conclusion.

Ainsi, proposition directe : tous lesangles droits sont égaux; proposition contraire : tous les angles qui ne sont pas droits ne sont pas égaux ; proposition réciproque : tous les angles égaux sont droits.

Comme le p'rouve l’exemple choisi, la proposition contraire et la proposition réciproque sont souvent fausses, parce que la conclusion de la proposition directe répond souvent à un plus grand nombre de cas que l’hypothèse.

La proposition directe, la proposition contraire et leurs propositions réciproques sont tellement liées, que, les deux premières étant vraies, leurs réciproques le sont. Par exemple, élevant une perpendiculaire surle milieu d’une droite, on démontre que tous ses points sont également éloignés des extrémités de la droite, et que tous les points qui ne lui appartiennent pas dans le plan considéré, sont inégalement distants de ces mêmes extrémités. On en conclut alors immédiatement que tous les points également éloignés sont sur la perpendiculaire, et que tous les points inégalement éloignés sont hors de la perpendiculaire.

8. Le mot axiome signifie proposition évidente par ellemême. Un théorème est une proposition qui doit être démontrée. Le mot problème S’explique de lui-même. Un lemme est une proposition préliminaire facilitant la démonstration d’un théorème. Un corollaire est une conséquence immédiate d’un théorème. Le scolie est une remarque sur un ou plusieurs théorèmes.