CHAPITRE PREMIER

GÉNÉRALITÉS RELATIVES AUX VARIATIONS D’LNE FONCTION ENTIÈRE. — CO.MPOSITION DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.

Défioitions.

170. Lorsqu’une équation renferme seulement des fonctions algébri-

ques, elle est dite al^ébrujuv; elle est transcendante dans le cas contraire (116). •' '

Toute équation algébrique à une seule inconnue ou à une seule variable peut, après la disparition des dénominateurs, celle des radicaux, et la transposition des termes, être ramenée à la forme (*)

X est la variable; m est un nombre entier, degré de réquation; A,, A„ A,..., A„,, A;,, sont des coefficients donnés : ces coefficients sont ou des quantités réelles ou des quantités imaginaires de la forme ci-f-éi.

Quand tous les coefficients sont des nombres donnés, l’équation reçoit le nom dîéquation numérique.

On peut ramener, quand on le juge convenable, le coefficient du premier terme de l'équation à l’unité (voir 186).

La résolution algébrique d'une équation consiste é trouver les expressions qui, composées algébriquement avec les coefficients de cette équation et substituées à l’inconnue, rendent les deux membres identiques, c'est-à-dire le premier égal à zéro : ces expressions sont les racines de l’équation.

Il a été démontré qu’au delà du quatrième degré, la résolution algébrique des équations générales était impossible.

Les efforts infructueux tentés pour parvenir à cette résolution algébrique ont du moins conduit à la connaissance d'un grand nombre de propriétés communes aux équations de tous les degrés. L’ensemble de ces propriétés constitue la théorie générale des équations, et cet en-semble sert de base aux principes employés pour la résolution des équations numériques.

171. I. Nous avons déjà démontré que toute fonction entière et rationnelle de la variable x était une fonction continue. Et la démonstration

( *) Ost co:tc fprmc qup non* ^oiin-pnlcn<lrr>ns tonjonrs, qtinnH nous nVxprimcroriR pan lo <?onlrairo.

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rappelén s’applique évidemment à toute fonction dont la dé^i^ée est Jînir. Car, d’une manière générale, on a (114)

F(jr + Ax) — F(x) = Ax[F'(x) + a].

Et le produit qui compose le second membre tendant vers zéro en même temps que Ax, puisqu’on suppose que F'(x) ne peut prendre aucune valeur infinie, il en est do même du premier membre.

On peut donc dire que toute fonction reste continue tant que sa dérivée reste finir.