n. Étant donnée une fonction entière et rationnelle
on peut toujours substituer à x une valeur assez grande jmur que le pre- «f»çr terme remporte sur la somme de tous les autres, et iniftose. son signe au polynôme.
Comparent le premier terme A,x" au terme quelronque A,.r"“". Nous aurons
A.x”— A..r” " -x"-"[A,x' — AJ.
On pourra toujours donner à x une valeur assez grande pour que le produit A.x" l'emporte sur le coefficient A., et de telle quantité qu’on voudra. Le facteur x"~" pouvant lui-méme croître sans limites, on voit que le premier terme A.x” peut surpasser un terme quelconque du polynôme d'une quantité aussi grande qu’on voudra, et, par suite, il peut surpasser de même la somme de tous les terme.s du polynômi.'.
A partir d’une certaine valeur de x, le polynôme prendra donc le 'signe de son premier terme et le cons^vpra }»nr toutes li's valeurs supérieures de X, en croissant lui-même indéfiniment.
173. D’après ce tliéorème, toute fonction de degré jmir a le même signe que le coefficient A. de son premier terme pour des valeurs trèsgrandes, /Msitives ou négatives, de la variable. Toute fonction de degré impair a le même signe que le coefficient A. de son premier terme pour des valeurs très-grandes, mais /msitives, de la variable ; elle a un signe contraire à celui de A. pour des valeurs très-grandes, mais négatives, do la variable.
174. in. Lorsque deux nombres n et h. substitués dans une fonction entière V{x], donnent des résultats de signes contraires, on peut affirmer que Féquation F { x ) o n au moins une racine réelle comprise entre n et h. J /.
En effet, si la variable .x varie d’une manière continue depuis a jusqu'à b. F(x) variera également d’une manière continue depuis F(.«) jusqu'à F(ô) (171). Et comme F(o) et V{b) ont des signes conu^ires, F(x) entre ces deux valeurs passera nécessairement par zéro, limite commune des quantités positives et négatives. Donc, entre a et b. la valeur de x se confondra au moins une fois avec l’une des racines de l'équation proposée.
17.^. De cet important tliéorème, résultent les conséquences suivantes :
I ’ Toute équation algébrique a coefficients réels et de degré im/uiir n au moins une racine réelle de signe contraire à son dernier terme.
53o f COHPLÉMEKT DALCEBRE.
Soit
F ( J ) = A, X" -f- A, + A, jr"-’ + . . . + A;, = O.
Ün peut toujours supposer que le coefficient A, est positif, m étant impair, une très-grande valeur positive donnée à x rendra le polynôme positif ; une très-grande valeur négative donnée à x le rendra négatif (173). Si l'on fait .r = o, le polynôme se réduira à son dernier terme A„. Si A, est positif, le changement de signe du polynôme aura lieu pour x compris entre — 00 et O : l'équation aura donc au moins une racice négative. Si A^ est négatif, le changement de signe du polynôme aura lieu pour x compris entre -4- œ et o : l'équation aura alors au moins une racine positive. Le tableau suivant résume ce que nous venons de dire :
Valeurs données a x.
-f- CO
Signes de F (x).
Môme signe que A„(±).
L’équation x’ — 4x’4-5x-4-7 o a au moins une racinq négative.
L’équation x* — 7x’-|-2x’ — 3x — 9 = 0 a au moins une racine positive.
1° Tonte équation algéhrniuc à coefficients récit et fie degré pair a au moins deux racines réelles, F une positive et Vautre négative, lorsque son dernier terme est négatif.
D'ajirès ce qui précède, il suffit de former le tableau suivant :
Valeurs données a x.
Signes de F (x).
Môme signe queA„(— ).
II y a donc changement de signe du polynôme quand x passe de — 00 à o et quand x passe dé oà 4- 00, c'est-à-dire que l'équation admet au moins une racine négative et au moin.s une racine positive.
L’équation x‘ — 3x^-|-x’— iix — a = o a au moins deux racines réelles, l’une positive, l’autre négative.
176. On voit qu’il y a doute quand le dernier terme du polynôme est positif, l’équation étant de degré pair, parce qu’aucun changement de signe ne se manifeste dans la fonction, quand x saute de — 00 à 4- « en passant par o. Nous admettrons que, dans ce cas aussi, l’équation F(x) = o a au moins une racine : seulement, cette racine peut être imaginaire.
Nous énoncerons sous une forme tout à fait générale, mais sans la démontrer, la proposition fondamentale suivante (voir les Exercices de Mathématiques de Cauchy ) :
. Toute éqiuition algébrique à une inconnue, de la forme définie précétlenuuenl (170) , admet au moins une racine réelle ou une racine iinaginaite de la forme a 4- bi.
Il faut bien comprendre do quelle manière une racine imaginaire a 4- bi peut satisfaire à l’équation F (x) = o. D'après les détails donnés dans le Livre I" sur les expressions imaginaires (ch. VI), on sait que la substitution do la quantité imaginaire a + bi à la place do x dans le premier membre de l'équation, conduira finalement à un résultat de môme forme A -t- B I. Si fl 4- /«est racine, on aura
cd by f'oogh
COMPLÉMENT d’aLGÉBIIE. Ô.^ I
c’est-à-dire que les valeurs de a et de 6 satisferont aux conditions A = o et B = O.
Composition des équations.
