Théorème pondahe.ntal. — Toute équation du degré ad

met exactement m racines réelles ou imaginaires.

L’équation F ( x) = o admet en effet au moins une racine { 176). Désignons cette racine par a. Puisqu’on a F(«) = o, F( j:) est divisible par le binérae x — a {Alg. élém., 36). Le premier terme du quotient Q sera A, .r"-‘ , et l’on aura identiquement :

Toute équation ayant au moins une racine, l'équation Q = o on admettra une b, et l’on aura .

Le premier terme du quotient Q' sera évidemment A,x”-’. Do mémo, l’équation Q' = o admettra une racine c, et l’on aura

Le premier terme du quotient Q" sera A,x“-\

En continuant toujours de la même manière, on obtiendra chaque fois . un nouveau facteur binôme; et le degré des quotients successifs allant toujours en diminuant d’une unité, on finira par arriver à un dernier quotient indépendant de x qui sera nécessairement A,. En remplaçant alors dans l’expression de F (x), Q par sa valeur en fonction de Q', Q' par sa valeur en fonction de Q’, etc., on arrivera à l’identité

F(x) = (x — fl)(x — ô)(x — c)...(x — /!)(x— /). A,.

Cette identité prouve que l’équation F (x) = o est Satisfaite pour les valeurs x = a,x=b,x = c,...,eo nombre m, et qu’elle l’est seulement pour ces valeurs (78); car toute autre quantité mise à la place de x n’annulant aucun des facteurs du second membre, ne peut non plus annuler le premier membre. , •

178. Remarques.— \. La relation obtenue montre comment on peut former le premier membre d’une équation dont les racines sont données. Le seul coelBcient A, restant arbitraire, on voit que deux équations qui ont les mômes racines ne peuvent différer que par un facteur constant.

II. Deux polynômes en x du degré m étant égaux pour plus de m valeurs de la variable, sont identiques. En effet, l’expression de l’égalité de ces deux polynômes X et X' conduit à une équation du degré m de la forme X — X’ = o , qui admet précisément pour racines les valeurs considérées de la variable, et qui ne peut en admettre un nombre supérieur à m, à moins que le premier membre ne se réduise de lui-môme à zéro.

III. La démonstration précédente ne suppose pas que les racines n, b, e, . .., h, l, soient différentes. Il peut arriver, par exemple, que l’équation admette n racines égales à a. On dit alors que a est’ une racine multiple du n''"' ordre. Une racine qui ne se reproduit pas est une racine simple ou du premier ordre.

IV . Les facteurs (x — o),(x — i),(x — r),..., sont appelés facteurs du premier degré ou facteurs premiers du polynôme F [x] [12].

Si on les multiplie deux à deux, trois à trois, . . . , on formera tous les

5üa

CUMVLÉME^T d'algèbre.

diviseurs du polyndmc Le nombre des diviseurs du second de^ré

, m[m — Il , . . ... . ... , ,

est donc — — ■ ; celui des diviseurs du troisième degré est

— ^ — — 5— Ole.

1711. Pour essayer si un nombre a est racine, on divise F ( J") jxirx — a. On obtient un quotient de la forme

et un reste R. F(x) étant égal au produit du diviseur />ar le quotient plus^ le reste, on doit avoir identiquement

-aU,

c'est-à-dire, on égalant les coefficients des mémos puissances de .r dans les deux membros ;

A,=rB,— «A,, A, = B,— «B,, A, = Bj— flB,, — A„, = B„, - «B„,, , A, = R - « B„, .

On aura donc

B(— A, -l-oA, , Bj — A,4-wB, , B, = Aj-4-«B,, . . .,

Ces égalités permettront de déduire rapidement les différents termes du quotient les uns des autres. On voit que rhaque coefficient du quotient sr comimse du coefficient du terme de même rang dans F(x) , augmenté du produit de a par le coefficient du terme précédemment écrit nu quotient, a est un nombre positif ou négatif. Si n = — 2, on a

Soit à diviser 4.*^' — >o.r* -i- 6x^ — 7x’ -f- g.r — 1 1 par x — 2.

Lo premier terme du quotient est ^x'. On obtient alors comme il suit les différents coefficients du quotient et le reste de la division.

On a alors pour quotient

et le reste est égal à — 5. Ainsi, 2 n’est pas racine et F ( 2 ) = — 5 { Alg. élém., 36).

Si le polynôme proposé n'est pas complet, il faut supposer les termes manquants écrits avec le coefficient o. Soit à essayer si —2 est racino do l'équation

Le premier terme du quotient est 2x’. On a ensuite

Lo quotient sera donc

2x-‘ — gx’ + i8x — 2g

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COMl•LKME^T Ii’algLbUE. 533

Pi le rosie de la division élanl 53, — 2 ne sera pas racine, el I on aura

180. Si deux: nombres a. et substitues dans Péijuntion F ( x) = o « la place de x, donnent des résultats de sif;nes contraires, ils eomprennent un nombre impair de racines { une racine multiple rP ordre n aunpte nécessairement n fois).

Soienl a, b, c, . . ., les racines comprises enlrc a el P; soit Q le quotient de F ( j) par le produit (x — n)(x — 6)(x — e) . . . (x — ^). On aura

Q représente le produit du coefficient du premier terme de réquatioii, l>ar les facteurs qui correspondent aux racines réelles non comprises entre a et [3 et aux racines imaginaires.

Substituons successivement dans l’identité obtenue a cl ^ à la place de X. Il viendra

F (a) cl F (P) étant par hypotliése de signes contraires, il doit en être

signe, sans quoi l'équation Q = o aurait une racine comprise entre a et p. Les produits

(p-a)(p-é)(p-c)...(P-ff),

doivent donc être de signes contraires ; et comme les facteurs du premier produit sont tous négatifs, tandis que les facteurs du second sont tous positifs, il faut que ces facteurs soient en nombre impair, c'est-àdire qu’il existe entre a et p un nombre impair de racines réelles.

Si F(a) et F (P) étaient de môme signe, on arriverait à la conclusion contraire. Ainsi, deux nombres qui, substitués à x, donnent des résultats de même signe, comprennent nécessairement un nombre pair de racines réelles [ce qui n'exclut pas zéro) (*).

{’) Les consicierntions (;éuinctriques suivantes peignent bien aux yeux In théorème c|u'on vient de démontrer.

Fig. 5.

IV e/

Cbôisissons deux axes rectanijulaircs OX el OY. Portons les râleurs de x en abscisses sur l'axe OX, h partir de l'origine O, et les valeurs dcF(x) en ordonnées, comme noos Pavons déjii expliqué (7n^n.^2). Les points où In courbe ainsi obtenue rencontrera Taxe 0\, correspondront .aux valeurs do x qui rendent F(r) =: 0, c’est-h-dire aux racines de celle équation. Si deux valeurs x = OA, roiTcspundcnt à des valeurs AM et UN de U fonction, qui soient de signes contraires, pour aller du point M au point N, la courbe de-

534 COMl-l.ÉMEM' u'aLGIBUE.

En se re(K»rtant au n“ 173, on voit que mule éqiuititm algébrique de degré impair mlniet lui nombre impair de racines réelles, et que toute équation tic degré pair admet un nombre pair de racines réelles; de sorte que les racines imaginaires, quand elles existent, sont toujours en nombre pair.

181. Racines imaginaires conjuguées. — Le nombre toujours pair des racines imaginaires se trouve encore établi par le remarquable théorème suivant.

Lorsqu'une équation algébrique à coefficients réels admet une racine imaginaire de la forme a-ébi, elle admet aussi pour racine rexpression conjuguée a — bi.

En remplaçant x par a+hi, on arrive à rexpros.«ion A Bi = O,

et comme a-\-bi est racine, on a (176)

A = O et B = O.

Si l’on remplace x par a — bi, les coefficients de F(x) étant supposés réels, le résultat obtenu ne différera du précédent que par le changement de i en — i. On aura donc pour premier membre A — Bi, et ce premier membre sera bien égal à zéro, puisqu'on a A = o et B = o, c'està-dire a — bi sera racine.

Cette proposition no serait plus vraie, si l’équation avait des coefficients imaginaires, puisque ces coefficients ne changeraient pas quand on passerait pour x de la valeur a-ébi à la valeur a — bi. On ne pourrait donc plus répondre d’arriver, par la seconde substitution, à un résultat conjugué du premier.

Les deux racines a + bi et a — bi correspondent aux facteurs du premier degré [x — a—bi] et {x — a-ébi) Le produit de ces deux facteurs (x — nY-é U' est un polynôme du second degré.

Par suite, on peut dire que le premier membre de toute équation algébrique à coefficients réels est le produit d’autant de facteurs réels du premier tlegré qu'elle admet clé racines réelles, et d’autant de facteurs réels du second degré quelle admet de couples de racines imaginaires.

Il est évident que si la racine a-^-hi est une racine multiple d’ordre n, sa conjuguée a — bi sera aussi une racine multiple du même ordre.

»r.i ncccssairemcnl couper l’aie OX Fig 6

fois nu point C ou un nombre impair do fois aux points D, C, E.

Si les deux râleurs x = OA, x=OB, correspondent à des valeurs AM et BN de la fonction, qui soient de même signe, pour aller du point M au point N, la courbe ne coupera pat l'axe OX ou le coupera néressairement un nombre pair de fois, aux points C et D par exrntple, ( Voir, pour plus de détails, In GcomvU ie annt} tiqur , I. III.)

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COMPLÉMENT d’alGÈBKE. •

Relations qui lient les coefflcients et les racines d’une équation * algébrique.

182. Supposons, pour plus de simplicité, que l’équalion considérée ait

l'unité pour coefficient de son premier terme. Nous aurons identiquement (177) ,

Si nous nous reportons alors à l’établissement de la formule du binôme (^fg. èlém., 236), nous pourrons remplacer le second membre |>ar

En effet, dans le produit de OT binômes (x-f-a), (x4-ô) (x + c),..., le coefficient de x”"' est la somme des seconds termes a, ô, c, . . . , le coefficient de x*-’ est la somme des mêmes seconds termes pris deux à deux; le coefficient de x”~’ est la somme des seconds termes des binômes pris trois à trois ; ... ; le dernier terme est le produit de tous ces seconds termes. Si les seconds termes des binômes considérés changent de signes, il suffit de changer les signes des coefficients du développement qui renferment les. produits des quantités a, ô, c, . . . , assemblées en nombre impair.

De l'identité

un déduit

A, = — ^1 = — (fl-+-ô-|-c-t-...-4-X-|-/), .

A, = S, = (fl6-|-«c4-...-l-X7),

xVj = — S^ = — ( (ihc (ihd -f- . . . -f- (i k ^ . . ), -*

A = ± S = ± abed. ..kl.

Donc, dans toute équation algébrique dont le premier terme a pour cocjflicient C unité :

Le coefficient du second terme est la somme tics racines, prise èn signe contraire ; •

Jr coefficient du troisième terme est la somme des produits des racines prises deux à deux ; *

Le coefficient du quatrième terme est la somme des produits des racines trois à trois, prise en signe contraire, etc.

Le dernier terme est égal au produit de toutes les racines, pris avec son signe si Véqiuition est de degré pair, pris en signe contraire si Véquation est de degré impair.

183, Comme l’équation complète du degré m renferme m+ i termes, le théorème précédent fournit m équations entre les m racines. Ces équa tions pourront faciliter la résolution de l'équation proposée, lorsqu'on connaîtra quelques autres relations entre ses racines ( 181 ) ; mais, seules.

536 , COMHLÉMEAX U AD.LbKE.

rlles no peàvent pas conduire 5 cette résolution. Car si l'on voulait obtenir la racine a, par exumple, on se servant dos m équations du n° 182. il faudrait éliminer entre ces //» équations les m — i autres racines. Comme toutes les racines y entrent d’ailleurs d’une manière parfaitement symétrique, l'é<|uation en a k laquelle on parviendra sera identiquement celle qu’on aurait trouvée on cherchant l’une quelconque des autres racines b, c, c'est-à-dire ([ue l'équation en n aura nécessairement

pour racines, non-seulement a, mais toutes les autres racines b, c, ri,... L’équation en a ne sera donc autre chose que l’équation proposée ellemême, sauf la substitution du symbole a au symbole x.

C’est ce que le calcul vérifie immédiatement.

Séparons la racine a des autres racines b, c, d,..., et désignons par i,, .ï,, s„. ... .v„, , les sommes de produits de ces autres racines prises I à I , X à 2, 3 à 3, I à /« — I . ün aura alors ( 61 )

Multiplions la première équation par la seconde ()ar la troisième par .., l’avant-dernière par «, et ajoutons membre à membre tous les résultats obtenus. Il viendra évidemment •

A, A, 1/" ' -3- -P ... -I- A„, « -(- A„ = — ir.

18i. E.vciii/i/c. — Résoudre réiiiiation px + q = o, saeluint

ipi'elte a deux rurines égides entre elles.

L(' terme en x^ manquant a pour coefficient u, ce qui apprend que la somme des racines est nulle.

Si l’on désigne par x' la racine simple et par x" la racine double, on aura donc <

x' ■+- ix" = O, d’ou x' — — 2x".

P représente la somme des produits diss racines prises deux à deux, c’està-dire

Ün jieut donc écrire

d’où

Un seul signe convient, et l’on doit prendre ensemble, soit les signes supérieurs, soit les signes inférieurs.

Comme une équation do degré impair admet toujours au moins une racine réelle (180), dans le cas que nous examinons, p est nécessairement négatif, et l’équation x^ + px q = o a ses trois racines ive/les.

Si l'on «Icmande quelle relation existe alors entre les coellicients p et y, on remaripiera que q représentant le produit des trois racines, pris en

COMPLÉMENT d'aLGÈBRE. 53^

signe conlrairo (182), on a

d'oik

La condition demandée est donc, en vcplu de la première valeur y/ — trouvée pour x",

d'où

ce qui revient à

ou a

Des valeurs p ~ — 3jC*’ pt 7 = ax”, on déduit aussi

et

On voit que les racines égales entre elles sont de même signe que 7, puisque P est nécessairement négatif; la racine simple est alors de signe contraire à 7.