I. Changer les signes des racines tCune étpiation
On veut trouver une équation qui ait pour racines les racines do rétpiation donnée, changées de signes. Par conséquent, x représentant une racine quelconque de l’équation proposée et y la racine correspondante de l't-quation clicrcliée, on devra avoir .r = — y. 11 suffira donc do substituer à X celte valeur pour résoudre la question, lit comme le symbole qui représente rinconniio est ici tout à fait indilférenl, il sera plus siinpie de changer
538 COMPLÉMENT d'aloÈBRE.
X en — X. Les termes qui contiennent x à une puissance impaire changeront de signes, et ceux qui contiennent x à une puissance paire garderont les leurs. Si l'équation est de degré, impair, le premier terme deviendra alors négatif. Pour le rendre positif, il faudra changer tous les signes, c’està-dire que les termes qui contiendront x à une puissance impaire conserveront leurs signes, tandis que ceux qui contiennent x à une puissance paire en changeront, o doit être regardé comme un nombre pair.
L’équation
X* — 5x’-l-ax’— 7^ O
a pour transformée en •*- x
L’équation
X* Sx’ -f- 2x’ —7 — 0.
X* — 7X^ — ax’-f-Sx — 1=0
a pour transformée en — x
x‘ — 7x'-(- ax’-t- 3x-|- 1 = o.
187. n. Multiplier ou diviser par une quantité quelconque l les racines d'une équation.
X représentant une racine quelconque de l’équation proposée, et j la racine correspondante de l’équation cherchée; on «devra avoir dans le premier cas :
y = Ix, d’où X =
il suffira donc pour résoudre la question de substituer à x cette valeur,
ou, ce qui revient au même, la valeur y II x'iendra alors ( en supposant
le coefficient du premier terme égal à l'unité)
7; + A, -(- A, -jsrr +• • •+ A„= o,
d’où, en multipliant par
x"-|- kfxT-' -t- A,/’x*-’-4-. . a,/" = o.
Il faudra donc, pour avoir la transformée en /x, multiplier respective-, ment les termes de l’équation proposée par les puissances /*, /',
Dans chaque terme, la somme des exposants du multiplicateur / et de l’inconnue x est toujours égale à ni.
Quand on aura trouvé les racines de la transformée, pour avoir celles de la proposée, on les divisera par l.
Si les racines de l’équation donnée devaient être divisées par l, au lieu de multiplier les coefficients des différents termes par les puissances successives de i, on les diviserait par ces mêmes puissances.
188. III. Chasser les dénominateurs d'une éqiuition, de manière que le premier terme ait toujours pour coefficient P unité.
Effectuons la transformation du numéro précédent en laissant le multiplicateur l indéterminé. Une fois cette transformation effectuée, il suffira de remplacer l par le plus petit nombre divisible jwr tous les dénominateurs, ou mieux, par un nombre tel, que tous le.s dénominateurs disparaissent.
C0MPLÉI1E^T »'ALGÈBnB. 53g
Soit l’équation
Passons à la transformée on Ix. Nous aurons
Le plus petit nombre divisible par tous les dénominateurs est aS; mais il suflit évidemment de prendre l = i4, puisque /'contiendra alors a\ On trouvera ainsi pour transformée
189. IV. Augmenter ou diminuer les racines d’une éqtuttion dune meme qtunUité h. ,
Supposons d’abord qu’il s’agisse de diminuer les racines.
X représentant une racine quelconque de l’équation proposée, y la racine correspondante de l’équation cherchée, on devra avoir
y ~ X — h, d’où r = y + h.
Il faut donc remplacer x par y -I- A. Si l’on représente l’équation donnée par F [x) = o, on obtient pour transformée en y (113, en note) ;
Soit l’équation t
ax* — 7x' — 8x’+ 5x — i = o.
Supposons qu’on veuille diminuer toutes les racines de 3. On aura
F = ax* — 7x* — 8x’-l- 5x — 1 ,
F'= 8x^ — aix’ — i6x-|- 5,
(Pour calculer F (3), F'(3), . , on pourra faire usage de la règle établie au n° 179.)
La transformée sera donc, en ordonnant suivant les puissances décroissantes dey,
Si l’on voulait augmenter les racines de la quantité A, on changerait A en — A dans tout ce qui précède.
Si A était une fraction y, on aurait
= X yt d’où h — /x qp X .
54o COMPLÉMEHT d'aLCEBRE.
On poserait ty = V, /.r = X, et l'on aurait
Pour former l'ùjiiation en X, il suffirait de chercher la transformée en /-c do l'équation proposée (187). Puis, on opérerait comme nous venons de le dire sur l'équation en X, pour avoir la transformée en Y; et en remplaçant dans cette transformée Y par ly, on trouverait l’équation en r qu’on veut obtenir.
Soit l'équation
*•* -f- Sx* — + 6x — 4 = 0.
Supposons qu'on veuille augmenter toutes les racines do ^ ou les diminuer de — On formera la transformée en /x, I étant égal à 3. Il
viendra .
X‘+ .i4X*- i8X’-4- iC/X - 3a4 = «•
On changera X en Y k ou en Y + ( — 2). On aura F = X‘-+-24V- i8X’-t- 1O2X F' == 4 X’ + 72 X’ - 3C X + I Ca ,
Iài seconde transformée sera donc
11 viendra ensuite, en remplaçant Y par 3/,
8ijr‘-i- 43a i24a>'-l- 1470J— 896 = o.
iG,
190. V. Faire disparailn; un terme (jiu-leonquc <Tunc è<iuatu)u.
On changera x en r -F A dans l'équation proposée, en laissant h indé tenninéc. 11 viendra
d'où, en développant,
Si I on veut maintenant faire disparaitre /c Humil terme, il suflira de
'( lO^lt
Digi|ij\
COMPLÉMETIT u’aLGÈBRE. 54 I
déterminer /< de manière qu'on ait
mh -H = O , d'où A = — — •
Il faudra donc changer j: en Par suite, la règle sera,
dans ce cas, do transformer l'équation en dimimuini toutes ses racines (189) du coefficient du second terme pris en signe contraire et divisé par le degré de Péquation. Ce résultat concorde avec ce qu’apprend le n“18!2, relativement à la composition du coefficient du second terme de l'équation.
Si l'on voulait faire disparaître le troisième terme, il faudrait |)oser
On en déduirait, on général, deux valeurs pour h.
Le dernier terme ne disparaîtrait qu’en égalant à zéro une fonction de h identique à la proposée. Et, en elTet, la transformée ayant alors une racine nulle, h doit être une quelcon(|ue des racines de la proposée.
Lors(|u'on a fait disparaître un terme d'un certain rang, si l'on veut en faire disparaître un autre dans la transformée, en suivant la marche indiquée, le terme de mémo rang que celui considéré d’abord reparaît.
Exemple ; On veut chasser le second terme de l’équation
Il faut remplacer x parj-|- 11 vient, en opérant directement,
